lim(x→无穷大)(1+1/2+1/3.+1/k)=?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 09:55:26

lim(x→无穷大)(1+1/2+1/3.+1/k)=?
有人知道吗?
还是不存在!

欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)
学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的,证明如下：
由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以Sn的极限不存在,调和级数发散.
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在,因为
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此Sn有下界
而
Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此
S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在.
于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）,可以这样做：
lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

极限lim（1+k/x）＝e^(1/2),(k为常数,x无穷大),求k lim（x-3/x+1）^x lim趋向无穷大 lim(x趋向无穷大)[1+2/(x+2)]^(x+2) lim x趋近于无穷大 (1-x)∧x=? lim（x/（1+x^2））,x趋向无穷大 x→无穷大lim((x-4)/(x+2))^x+1 求极限求极限x→无穷大lim(1-2/3x)^(x+1)麻烦具体 lim(1+2/x)^x+3 x→无穷大求极限 lim(x^2-1/x-1)=?(x趋近于无穷大) lim((ln(1+x))/x)^(1/x) x->无穷大请老师回答问题,lim（n趋于无穷大）(1^n+2^n+3^n)1/n次方=?lim(x趋于无穷大）sin2x/x=? 求极限lim(x->负无穷大) (1/x+e^x)