10月10日疑问:有个定理2:给设定的两个实数α和β,如果任取一个数e>0,α及β都能位于同一对有理数S’及S之间,S’
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 13:18:58
10月10日疑问:
有个定理2:给设定的两个实数α和β,如果任取一个数e>0,α及β都能位于同一对有理数S’及S之间,S’>α>S,S’>β>S,这对数的差小于e,S’-SS的话,在数轴上S’S这一段里找出了α这一点,当S’S逐渐变小,数轴上S’S这一段会越来越小,当它们无限接近,它们之间就只夹一个数了。因为实数的稠密性,S’>S,S’S之间有个α可以使S’>S,我是这么理解的,但从实际上好像有问题,定理本身不太明确,S’-S永远大于0,这个是因为S’>S。然而定理说S’-S0与S’-S≤0违背。 从另一方面讲,也不可能任取一个数大于0就可满足S’-S0,0和它们都是有理数,我可以在S’和S和0之间找到一个数,在这情况下不可能满足任取一个数e大于0使得S’-Sα>S一定推得出S’>S,也一定推得出S’-S>0,我现在就取一个数e=S’-S,都不会满足S’-Sβ,则恒有一个位于它们中间的有理数r使α>r>β,这种有理数有无穷多个。这个定理就跟现在这个定理矛盾啊。 因为S’和S显然是两个实数,因为S’>S,所以它一定是两个不同的实数,那么根据定理1,一定有无穷多个有理数位于它们的中间,也就是说,有S’>r1>r2>r3,,,>S,而由定理2得到的是,在这两个有理数之间,它们中间竟然只夹了一个数,这怎么可能呢,那我们在假设定理2正确的情况下,这个定理和定理1矛盾,不可能啊。 请老师帮忙看看,第一,我自己的理解有没有错误,因为我这是不严格的证明;第二,关于我的几个不同方面看这定理的问题,有没有什么不对?我想知道为什么会有这个定理,是对的吗?第三,它和之前的定理1矛盾,我想了解是真的矛盾吗(我觉得是)?如果不矛盾,请解释清楚为什么,解释清楚我的想法哪里错了,非常感谢!
请老师一定帮忙解答哈,非常感谢!
有个定理2:给设定的两个实数α和β,如果任取一个数e>0,α及β都能位于同一对有理数S’及S之间,S’>α>S,S’>β>S,这对数的差小于e,S’-SS的话,在数轴上S’S这一段里找出了α这一点,当S’S逐渐变小,数轴上S’S这一段会越来越小,当它们无限接近,它们之间就只夹一个数了。因为实数的稠密性,S’>S,S’S之间有个α可以使S’>S,我是这么理解的,但从实际上好像有问题,定理本身不太明确,S’-S永远大于0,这个是因为S’>S。然而定理说S’-S0与S’-S≤0违背。 从另一方面讲,也不可能任取一个数大于0就可满足S’-S0,0和它们都是有理数,我可以在S’和S和0之间找到一个数,在这情况下不可能满足任取一个数e大于0使得S’-Sα>S一定推得出S’>S,也一定推得出S’-S>0,我现在就取一个数e=S’-S,都不会满足S’-Sβ,则恒有一个位于它们中间的有理数r使α>r>β,这种有理数有无穷多个。这个定理就跟现在这个定理矛盾啊。 因为S’和S显然是两个实数,因为S’>S,所以它一定是两个不同的实数,那么根据定理1,一定有无穷多个有理数位于它们的中间,也就是说,有S’>r1>r2>r3,,,>S,而由定理2得到的是,在这两个有理数之间,它们中间竟然只夹了一个数,这怎么可能呢,那我们在假设定理2正确的情况下,这个定理和定理1矛盾,不可能啊。 请老师帮忙看看,第一,我自己的理解有没有错误,因为我这是不严格的证明;第二,关于我的几个不同方面看这定理的问题,有没有什么不对?我想知道为什么会有这个定理,是对的吗?第三,它和之前的定理1矛盾,我想了解是真的矛盾吗(我觉得是)?如果不矛盾,请解释清楚为什么,解释清楚我的想法哪里错了,非常感谢!
请老师一定帮忙解答哈,非常感谢!
解题思路: 这个应该是“区间套定理”的一种解释吧(我想要是改成闭区间,是不是就没有“矛盾”了呢)
解题过程:
关于定理2,我确实和你有同感, 当我们把s、s'看成是通常意义上的“常数——固定不变的数”的话,由 对任意e>0,总有 s'-s<e,确实应该得到结论 s'-s≤0(当然,其中的小于号可以是不用成立的),这样的话,与s'-s>0矛盾。 但是,从网上搜索了一下,如果这个“定理”确实已经得到数学界的公认的话,那么下面的解释似乎是有些道理的(s、s'不能认为是通常的定值——至少,在变化过程的一开始,是可以有s<α<s',s<β<s'的): 任给一个e>0,都能找出s、s'两个有理数使得α、β在它们之间,也就是说任意满足要求的区间(s,s')之中都存在同样的两个数α、β,这说的是一个动态过程,就是α、β同时在这样长度可以无限小的一系列区间(s,s')中,或者理解成α、β在区间(s,s')之中而且可以让(s,s')长度无限缩小它们都不掉出来. 那么α=β. 而 实数的“稠密性”是对于某一个区间(a,b),里面都有无穷多个无理数。 如果再取一个长度更小的子区间(a',b'),里面还有无穷多个无理数,但是我不管(a',b')里面的无理数哪些是在(a,b)里面同样有的,也不管(a,b)不断缩小长度的过程中哪些数会保持在里面. 这两个问题的联系可以理解为区间(s',s)长度一直在无限缩小,但是瞬间把它固定下来看,里面都有无穷多个数,不过随着长度的无限缩小,别的数总有掉出去的时刻,永远也不会掉出去的只有一个数就是α,如果两个数α、β都掉不出去则肯定是同一个数α=β. 【如果纯粹是我自己的想法的话,那我想要是把定理2中的不等式s<α<s',s<β<s'改为:s≤α≤s',s≤β≤s',是不是就好了呢?】
解题过程:
关于定理2,我确实和你有同感, 当我们把s、s'看成是通常意义上的“常数——固定不变的数”的话,由 对任意e>0,总有 s'-s<e,确实应该得到结论 s'-s≤0(当然,其中的小于号可以是不用成立的),这样的话,与s'-s>0矛盾。 但是,从网上搜索了一下,如果这个“定理”确实已经得到数学界的公认的话,那么下面的解释似乎是有些道理的(s、s'不能认为是通常的定值——至少,在变化过程的一开始,是可以有s<α<s',s<β<s'的): 任给一个e>0,都能找出s、s'两个有理数使得α、β在它们之间,也就是说任意满足要求的区间(s,s')之中都存在同样的两个数α、β,这说的是一个动态过程,就是α、β同时在这样长度可以无限小的一系列区间(s,s')中,或者理解成α、β在区间(s,s')之中而且可以让(s,s')长度无限缩小它们都不掉出来. 那么α=β. 而 实数的“稠密性”是对于某一个区间(a,b),里面都有无穷多个无理数。 如果再取一个长度更小的子区间(a',b'),里面还有无穷多个无理数,但是我不管(a',b')里面的无理数哪些是在(a,b)里面同样有的,也不管(a,b)不断缩小长度的过程中哪些数会保持在里面. 这两个问题的联系可以理解为区间(s',s)长度一直在无限缩小,但是瞬间把它固定下来看,里面都有无穷多个数,不过随着长度的无限缩小,别的数总有掉出去的时刻,永远也不会掉出去的只有一个数就是α,如果两个数α、β都掉不出去则肯定是同一个数α=β. 【如果纯粹是我自己的想法的话,那我想要是把定理2中的不等式s<α<s',s<β<s'改为:s≤α≤s',s≤β≤s',是不是就好了呢?】
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