已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 16:55:55

已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(1/2)=1,且对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy)成立,又数列
｛an｝满足a1=a,an+1=2an/（1+an^2）,设bn=1/f(a1)+1/f(a2)+...+1/f(an)
（1）在（-1,1）内求一个实数t,使得f(t)=2f(1/2)
（2）证明数列｛f(an)}是等比数列,并求f(an)的表达式和limbn的值
（3）是否存在m属于N*,使得对任意n属于N*,都有bn＜（m-8）/4成立?若存在,求出m的最小值；若不存在,请说明理由.

一,
想要得到 f(t) = 2f(1/2), 虽然知道f(1/2) = 1, 但这个信息似乎用不上.
那么还有一个信息, 那就是f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy)
我们怎么想办法利用这个呢.

由f(t) = 2f(1/2)可以构造
f(t) - f(1/2) = f(1/2)
是不是有感觉了?
那么我们就要构造好一个x一个y, 使得f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy).
显然y = 1/2, 且x - y/1 - xy = 1/2
那么x = 4/5
验证一下
f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy)
f(4/5) - f(1/2) = f[(3/10)/(6/10)] = f(1/2)
那么f(4/5) = 2f(1/2)
二, 第二问比较棘手, 不知从哪里下手, 数列本身的表达式an + 1 = 2an/（1 + an^2）, 要求an的表达式似乎不太可能.这就疑惑了.

但是f(x) - f(-x) = f(2x/1 + x^2)
这个右边是不是有点类似数列的那个式子?

好了, 可以下手了,
首先, an + 1 = 2an/(1 + an^2), an + 1一定在(-1, 1)范围内, 这个不解释, 你这个要不知道, 请复习初中数学
因为f(x) - f(y) = f(x - y/1 - xy)
那么也有f(y) - f(x) = f(y - x/1 - xy)
令x - y/1 - xy = t
由上面两个式子可以知道f(t) = -f(-t)
f(x)是奇函数
那么f(x) - f(-x) = f(2x/1 + x^2)
有2f(x) = f(2x/1 + x^2)
可以知道2f(an) = f(an + 1)
那么f(an)是等比数列,公比是2
至于求bn, 这个用a1和算出来的公比就可以求出, 我不再多说
三, 百度知道字数有限制, 你加我qq, 281600880, 我跟你qq说

已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y); 已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f（X）已知定义在R上的函数f(x)满足：1对任意的x、y属于r,都有f(x)+f(y)=f(x+y);2当x＜0时,有f(x) f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的x,y都有f(x)+f(y)=1+f(x+y)；对所有的非零实数x,都有f 设f(x)是定义在R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立求定义在R上的函数f(x),满足对任意x y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(x)不恒为0 求f(1)和f(- 已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2 已知y=f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x)+1/1-f(x)成立,若f(2)=1-√ 已知y=f（x)是定义在R上的函数,且对任意x∈R,都有：f（x+2)=[1-f（x)]/[1+f(x)],又f（1）= 已知f(x)是定义在R上的恒不为0的函数,且对任意实数x,y都满足f(x)*f(y)=f(x+y)（1）求f(0)并证明已知定义在R+上的函数f（x）同时满足如下三个条件：（1）对任意x,y∈R+都有f（x*y）=f（x）+f（y）;（2）