有关高等代数题证明:如果(x-1)能整除f(x^n),那么(x^n-1)能整除f(x^n)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 22:14:44
有关高等代数题
证明:如果(x-1)能整除f(x^n),那么(x^n-1)能整除f(x^n)
证明:如果(x-1)能整除f(x^n),那么(x^n-1)能整除f(x^n)
用反证法证明.
假设(x^n-1)不能能整除f(x^n),则存在q(x)0和k0,使得
f(x^n)=(x^n-1)q(x)+k
=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+1]q(x)+k
即存在p(x)=[x^(n-1)+x^(n-2)+…+1]q(x)0,和k0使得
f(x^n)=(x-1)p(x)+k成立.这与已知(x-1)能整除f(x^n)矛盾.
故假设不成立.
则(x^n-1)能整除f(x^n).
假设(x^n-1)不能能整除f(x^n),则存在q(x)0和k0,使得
f(x^n)=(x^n-1)q(x)+k
=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+…+1]q(x)+k
即存在p(x)=[x^(n-1)+x^(n-2)+…+1]q(x)0,和k0使得
f(x^n)=(x-1)p(x)+k成立.这与已知(x-1)能整除f(x^n)矛盾.
故假设不成立.
则(x^n-1)能整除f(x^n).
"如果(x-1)整除f(x^n)那么(x^n-1)整除f(x^n)"中的证明问题
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