若非负数a b c满足a+b+c=1,求证:a/(1+a^2) +b/(1+b^2) c/(1+c^2)≤9/10

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 12:37:23

如果a,b,c中某一个数等于0,那么可以先将所证式化简,做法与a,b,c都不为0时类似,我直接写一个证明a,b,c都不为0的做法.
先证明一个基本不等式：对任意正实数x,y,z,有不等式 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=9 成立.
证明：(如果你知道Caychy不等式,那么这就是Cauchy不等式的直接推论)
将两个括号中的式子全部乘开,即 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=3+(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(y/z+z/y).后面三个括号中都用均值不等式即,x+y+y/x>=2,x/z+z/x>=2,y/z+z/y>=2,于是可知 (x+y+z)(1/x+1/y+1/z)>=3+2+2+2=9,因此上面的基本不等式成立.
回到原题.由均值不等式可知 1+a^2=8/9+(1/9+a^2)>=8/9+2/3a,同理 1+b^2>=8/9+2/3b,1+c^2>=8/9+2/3c,所以
a/(1+a^2) +b/(1+b^2) +c/(1+c^2)
=9,但是 a+b+c=1,(3a+4)+(3b+4)+(3c+4)=15,所以 1/(3a+4)+1/(3b+4)+1/(3c+4)>=9/15=3/5 (2)
由(2)知 4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4)>=12/5,用3减去不等式两边得到：
3-[4/(3a+4)+4/(3b+4)+4/(3c+4)]

已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+ ..a b c为正,求证a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=1/2(a+b+c) 已知实数a,b,c,满足a>b>c. 1)求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 2)试将上述不等式加以实数abc,满足a>b>c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证a+b大于1小于4/3 若非零实数a,b,c满足5^a=2^b=sqr(10^c),则c/a+c/b=多少、、、、答案是2、求过程已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c 设实数a、b、c满足 ,a^2+2b^2+3C^2=3/2求证：3^(-a)+9^(-b) +27^(-c)≥1 已知a、b、c为三个非负数，且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1．已知三个非负数a b c,满足3a+2b+c=5,2a+b-3c=1, 实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd＞1,求证：a,b,c,d中至少有一个是负数. 实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd大于1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1.ac+bd>1,求证：a,b,c,d中至少有一个是负数