神马作文网高中数学"如何上好活动课"教学研讨
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/13 16:18:48
高中数学"如何上好活动课"教学研讨
教学反思是教师专业发展的重要方法一
请您从此次学习资源：《高中数学必修1“函数单调性”的教与学研究》、《高中数学必修1“对数运算”教与学研究》、《高中数学必修5“一元二次不等式的应用、基本不等式和应用”教学研讨》、《高中数学“如何上好活动课”教学研讨》、《高中数学选修2-1“全称量词、椭圆、空间向量与立体几何”教学研讨》中挑选一个课题,进行一次教学,课后写一篇教学反思,按下列要求来写：1、此节课的教学流程是什么?你为什么这样设计?2、此节课的重点和难点分别是什么?重点是如何突出和难点是如何突破的?3、此节课你选择什么教法?你这样选择的理由是什么?4、在学生学习的方法指导上,您是怎么进行指导的?希望达到什么学习效果.5、你对这节课的教学预设与教学生成有何启发?
要求：
1、务必是自己的做法和想法；
2、抄袭或者雷同作业作零分处理；
3、字数不少于600字；
注意事项：
请在提交作业答案之前,做好答案的备份,以免提交失败造成答案丢失.
学生： 阚武 作业完成时间：2013-9-30 12:44:46
答案：
函数单调性教学与反思
肥东一中 阚 武
教学内容：《函数的单调性》
教材分析：
教材的地位和作用
《函数的单调性》它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展,又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础,在整个高中数学中起着承上启下的作用.研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法,反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式,这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思想方法具有重大意义.函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值,求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学.
三.教学流程
学生已有的认知基础是,初中学习过函数的概念,初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后,又进一步学习了函数的概念,认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法,特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外,还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数,了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是,学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．
“图象是上升的,函数是单调增的；图象是下降的,函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于,把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来,用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大,y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2,有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1,x2．
教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究,得到“图象是上升的”,相应地,即“随着x的增大,y也增大”,初步提出单调增的说法．通过讨论、交流,让学生尝试,就一般情况进行刻画,提出“在某区间上,如果对于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大,y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后,学生通过判断函数的单调性,寻找函数的单调区间,运用函数的单调性解决具体问题,等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．
四.教学目标陈述
根据新课标的要求和教学内容的结构特征,依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求,结合学生的实际水平,本节课教学目标如下：
知识目标：
（1）从本质上理解函数单调性概念；
（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用.
能力目标：
（1）培养学生的观察能力,分析归纳能力,领会归纳转化的思想方法.（2）使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.（3）培养学生从具体到抽象的能力.
情感目标：
（1）培养学生主动探索、不畏困难、敢于创新的意识和精神.
（2）通过本课的学习,使学生能理性地思考生活中的增长、递减现象.
五.教学重难点分析
教学重点：（1）领会函数单调性概念,体验函数单调性的形式化过程,深刻理解函数单调性的本质,并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的应用
教学难点：突破抽象,深刻理解函数单调性形式化的概念.
六.教学理念：
本教学设计是基于用数学本原性问题来驱动数学概念的理念进行设计的.主要目的是为了突破函数单调性这个概念的抽象性,能让学生体验概念的形成过程,形成对概念的正确理解.因此教学设计在课堂教学中的概念引入的情景设计、概念形成的过程分析、概念运用的问题强化、原发性问题的价值挖掘这四方面应用了“用数学本原性问题驱动数学概念教学”这一理念,突破传统的教学设计,从一个新的角度对教学进行了设计：第一阶段函数单调性概念由实际背景转化为文字语言的叙述；第二阶段函数单调性概念由文字语言的叙述转化为数学叙述；第三阶段函数单调性概念由数学叙述转化为数学符号叙述；第四阶段函数单调性概念由数学符号叙述抽象到了形式化.这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识,并且能适度地进行形式化的表达这一理念.
七.方法指导
函数的单调性是函数的最重要性质之一,其蕴涵丰富,应用广泛,灵活多变,是函数的一大亮点,是历年高考的重点、热点.教师在实施教学过程中,一定认真钻研教材,吃透教材本质,努力挖掘出深层次的知识方法内涵,开启学生的思维空间,提高数学教学效果.
函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛.“函数的单调性”一节,教材在内容安排上以学生熟知的一次函数和二次函数图象为素材,逐步由形到数,引导学生发现函数的图象在上升或下降时函数值的变化,然后再推广到一般得出函数单调性的定义,很自然地完成了使学生由图形的形象思维上升到概念的抽象思维过渡,引导学生灵活运用数形结合的数学思想方法.
在教学过程中,教师可以通过大量的函数实例,引导学生利用函数图象判断、分析函数的单调性问题,体现“函数-图象-单调性”的探究思维过程.函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步：取值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论.
1 判断、证明函数单调性
判断、证明函数单调性,是函数单调性考查的一个重要知识点,以定义法、图象法为主.利用定义判断、证明函数的单调性,要求步骤规范,思路严谨,有利于培养学生思维的严谨性,提高学生的逻辑推理能力.
2 求单调区间
函数的单调性是针对某个区间整体而言的,要求函数的单调区间,必须先求函数的定义域.
求函数的单调区间时,首先确定函数的定义域,注意单调区间的写法,虽然函数在不连续的若干个区间上具有相同的单调性,但在写单调区间时要分开写,不能并!严密的逻辑,培养学生思维的批判性.
3 比较大小
比较函数值的大小,是函数的单调性的非常重要的应用.在应用时,要注意分析函数的单调区间.利用单调性,比较函数值的大小.体现了等价转化数学思想方法的灵活运用,培养学生思维的灵活性.
4 解不等式
理解函数单调性的定义,体现了量与量之间确切关系,在应用时可以灵活转化. 利用函数的单调性可以解不等式.
5 求函数的值域(或最值)
求函数的值域(或最值),利用函数的单调性是首选方法.
八.教学环境：
为了有效实现教学目标,条件许可,可以借助计算机或者计算器绘制函数图象,同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．
九.教学过程
1．认识研究函数单调性的必要性
前面已经学习过函数的概念、函数表示法,紧接着对函数要研究些什么?那就是函数的性质（特征）．研究函数的性质,是为了更好地把握变化规律．
对于运动变化问题,最基本的就是描述变化的快或慢、增或减……相应的,函数的特征就包含：函数的增与减（单调性）,函数的最大值、最小值,等．使学生感受到,紧接研究函数的性质是必然的学习任务．也可以由教师引导,借助对一些函数图象的观察、对所观察到的特征进行归类,引入函数的某个性质的研究．比如,观察图1中各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征?有图象上升的特征,图象有时上升有时下降的特征,图象关于y轴对称的特征,等．我们将逐一研究这些特征．
2．函数单调性的认识
问题串的设计大体从两个层次上展开,目的是经历从直观到抽象,从特殊到一般的过程．
首先利用图象描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度认识函数单调性；然后从数值变化角度描述变化规律,图象上升（下降）,也就是随着x的增大y也增大（或减小）；最后用数学符号语言描述．
问题1 如图2,观察一次函数f（x）＝x和二次函数f（x）＝x2的图象,说说随着x的增大,图象的升降情况．
函数f（x）＝x的图象由左到右是上升的；函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的．
意图：通过几何直观,引导学生关注图象所反映出的特征,体验自变量从小到大变化时,函数值大小变化在图象上的表现．
初步提出函数单调性的意义：函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调性．我们把二次函数f（x）＝x2在y轴左侧下降称为f（x）＝x2在区间 上“单调减”；在y轴右侧上升称为函数f（x）＝x2在区间 上“单调增”．
下面以二次函数f（x）＝x2为例,通过列出x,y的对应值来研究它的上升与下降情况．
问题2 观察下列表格,描述二次函数f（x）＝x2随x增大函数值的变化特征：
意图：从一个特殊例子,结合前面的图象特征,从数值变化角度认识函数的单调性．
图象在y轴左侧“下降”,也就是说,在区间 上,随着x的增大,相应的f（x）值反而随着减小；图象在y轴右侧“上升”,也就是说,在区间 上,随着x的增大,相应的f（x）值也随着增大．
问题3 对于一般函数f（x）,如果在区间 上有“图象上升”、“随着x的增大,相应的f（x）值也增大”的特点,那么应该怎样刻画呢?
意图：从形象到抽象,从具体到一般．先让学生尝试描述一般函数f（x）在 上“图象上升”、“随着x的增大,相应的f（x）值也增大”的特征．
这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子”．教学上,可以让学生开展讨论、交流．通过学生的活动,逐渐认识函数单调性的刻画方法．在这个过程中,二次函数的特征是一个具体的载体,可以起到验证、支持作用．
如果学生主动提出函数单调增的一般定义,则可以议论“为什么?”,让学生以二次函数f（x）＝x2为例解释定义的合理性．
给出函数单调性的一般定义．
一般地,设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
练习
下列说法是否正确?请画图说明理由：
（1）如果对于区间 上的任意x有f（x）＞f（0）,则函数f（x）在区间 上单调增；
（2）对于区间上（a,b）的某3个自变量的值x1,x2,x3,当a＜x1＜x2＜x3＜b时,有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜f（b）,则函数f（x）在区间（a,b）单调增．
意图：使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性．
3．单调性概念的应用
通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识．
例1 物理学中的波利尔定律 （k是正常数）告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小,压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
分析怎样来证明“体积V减小,压强p将增大”呢,根据函数单调性的定义,只要证明函数 （k是正常数）是减函数．怎样证明函数 （k是正常数）是减函数呢,只要在区间（0,＋∞）（因为体积V＞0）任意取两个大小不相等的值,证明较小的值对应的函数值较大,即
设V1＜V2,去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0．
证明 设V1＜V2,V1,V2∈（0,+∞）．
因为k是正常数,V1＜V2,所以 ＞0,p1＞p2．
所以,体积V减小,压强p将增大．
教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上,而让学生进行具体证明步骤的书写．
练习
画出反比例函数y＝ 的图象．
（1）指出这个函数的定义域I是什么；
（2）它在定义域I上具有怎样的单调性?证明你的结论．
答：（图象略）．
（1）这个函数的定义域I＝（－∞,0）∪（0,＋∞）．
（2）在区间（－∞,0）上函数单调减,在区间（0,＋∞）上函数也单调减．（证明略）
十.学习评价和反馈
1．举一个与实际生活联系的例子,并说明这个函数在定义域上是减函数．
2．画图说明：函数f（x）在它的定义域I内的两个区间D1,D2上都单调增,而在定义域I上并不单调增．
3．证明函数f（x）＝x2－2x在区间（1,+∞）上是增函数．
4．研究函数f（x）＝ 的单调性．
十一.教学启发
学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力,以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,问题串的设计可以让更多的学生主动参与,师生对话可以实现师生合作,适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神,知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,为学生的可持续发展打下基础．
请您从此次学习资源：《高中数学必修1“函数单调性”的教与学研究》、《高中数学必修1“对数运算”教与学研究》、《高中数学必修5“一元二次不等式的应用、基本不等式和应用”教学研讨》、《高中数学“如何上好活动课”教学研讨》、《高中数学选修2-1“全称量词、椭圆、空间向量与立体几何”教学研讨》中挑选一个课题,进行一次教学,课后写一篇教学反思,按下列要求来写：1、此节课的教学流程是什么?你为什么这样设计?2、此节课的重点和难点分别是什么?重点是如何突出和难点是如何突破的?3、此节课你选择什么教法?你这样选择的理由是什么?4、在学生学习的方法指导上,您是怎么进行指导的?希望达到什么学习效果.5、你对这节课的教学预设与教学生成有何启发?
要求：
1、务必是自己的做法和想法；
2、抄袭或者雷同作业作零分处理；
3、字数不少于600字；
注意事项：
请在提交作业答案之前,做好答案的备份,以免提交失败造成答案丢失.
学生： 阚武 作业完成时间：2013-9-30 12:44:46
答案：
函数单调性教学与反思
肥东一中 阚 武
教学内容：《函数的单调性》
教材分析：
教材的地位和作用
《函数的单调性》它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展,又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础,在整个高中数学中起着承上启下的作用.研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法,反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式,这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力,掌握数学的思想方法具有重大意义.函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值,求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学.
三.教学流程
学生已有的认知基础是,初中学习过函数的概念,初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后,又进一步学习了函数的概念,认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法,特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外,还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数,了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是,学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．
“图象是上升的,函数是单调增的；图象是下降的,函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于,把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来,用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大,y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2,有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1,x2．
教学中,通过一次函数、二次函数等具体函数的图象及数值变化特征的研究,得到“图象是上升的”,相应地,即“随着x的增大,y也增大”,初步提出单调增的说法．通过讨论、交流,让学生尝试,就一般情况进行刻画,提出“在某区间上,如果对于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大,y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后,学生通过判断函数的单调性,寻找函数的单调区间,运用函数的单调性解决具体问题,等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．
四.教学目标陈述
根据新课标的要求和教学内容的结构特征,依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求,结合学生的实际水平,本节课教学目标如下：
知识目标：
（1）从本质上理解函数单调性概念；
（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用.
能力目标：
（1）培养学生的观察能力,分析归纳能力,领会归纳转化的思想方法.（2）使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.（3）培养学生从具体到抽象的能力.
情感目标：
（1）培养学生主动探索、不畏困难、敢于创新的意识和精神.
（2）通过本课的学习,使学生能理性地思考生活中的增长、递减现象.
五.教学重难点分析
教学重点：（1）领会函数单调性概念,体验函数单调性的形式化过程,深刻理解函数单调性的本质,并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的应用
教学难点：突破抽象,深刻理解函数单调性形式化的概念.
六.教学理念：
本教学设计是基于用数学本原性问题来驱动数学概念的理念进行设计的.主要目的是为了突破函数单调性这个概念的抽象性,能让学生体验概念的形成过程,形成对概念的正确理解.因此教学设计在课堂教学中的概念引入的情景设计、概念形成的过程分析、概念运用的问题强化、原发性问题的价值挖掘这四方面应用了“用数学本原性问题驱动数学概念教学”这一理念,突破传统的教学设计,从一个新的角度对教学进行了设计：第一阶段函数单调性概念由实际背景转化为文字语言的叙述；第二阶段函数单调性概念由文字语言的叙述转化为数学叙述；第三阶段函数单调性概念由数学叙述转化为数学符号叙述；第四阶段函数单调性概念由数学符号叙述抽象到了形式化.这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识,并且能适度地进行形式化的表达这一理念.
七.方法指导
函数的单调性是函数的最重要性质之一,其蕴涵丰富,应用广泛,灵活多变,是函数的一大亮点,是历年高考的重点、热点.教师在实施教学过程中,一定认真钻研教材,吃透教材本质,努力挖掘出深层次的知识方法内涵,开启学生的思维空间,提高数学教学效果.
函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛.“函数的单调性”一节,教材在内容安排上以学生熟知的一次函数和二次函数图象为素材,逐步由形到数,引导学生发现函数的图象在上升或下降时函数值的变化,然后再推广到一般得出函数单调性的定义,很自然地完成了使学生由图形的形象思维上升到概念的抽象思维过渡,引导学生灵活运用数形结合的数学思想方法.
在教学过程中,教师可以通过大量的函数实例,引导学生利用函数图象判断、分析函数的单调性问题,体现“函数-图象-单调性”的探究思维过程.函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步：取值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论.
1 判断、证明函数单调性
判断、证明函数单调性,是函数单调性考查的一个重要知识点,以定义法、图象法为主.利用定义判断、证明函数的单调性,要求步骤规范,思路严谨,有利于培养学生思维的严谨性,提高学生的逻辑推理能力.
2 求单调区间
函数的单调性是针对某个区间整体而言的,要求函数的单调区间,必须先求函数的定义域.
求函数的单调区间时,首先确定函数的定义域,注意单调区间的写法,虽然函数在不连续的若干个区间上具有相同的单调性,但在写单调区间时要分开写,不能并!严密的逻辑,培养学生思维的批判性.
3 比较大小
比较函数值的大小,是函数的单调性的非常重要的应用.在应用时,要注意分析函数的单调区间.利用单调性,比较函数值的大小.体现了等价转化数学思想方法的灵活运用,培养学生思维的灵活性.
4 解不等式
理解函数单调性的定义,体现了量与量之间确切关系,在应用时可以灵活转化. 利用函数的单调性可以解不等式.
5 求函数的值域(或最值)
求函数的值域(或最值),利用函数的单调性是首选方法.
八.教学环境：
为了有效实现教学目标,条件许可,可以借助计算机或者计算器绘制函数图象,同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．
九.教学过程
1．认识研究函数单调性的必要性
前面已经学习过函数的概念、函数表示法,紧接着对函数要研究些什么?那就是函数的性质（特征）．研究函数的性质,是为了更好地把握变化规律．
对于运动变化问题,最基本的就是描述变化的快或慢、增或减……相应的,函数的特征就包含：函数的增与减（单调性）,函数的最大值、最小值,等．使学生感受到,紧接研究函数的性质是必然的学习任务．也可以由教师引导,借助对一些函数图象的观察、对所观察到的特征进行归类,引入函数的某个性质的研究．比如,观察图1中各个函数的图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征?有图象上升的特征,图象有时上升有时下降的特征,图象关于y轴对称的特征,等．我们将逐一研究这些特征．
2．函数单调性的认识
问题串的设计大体从两个层次上展开,目的是经历从直观到抽象,从特殊到一般的过程．
首先利用图象描述变化规律,如上升、下降,从几何直观角度认识函数单调性；然后从数值变化角度描述变化规律,图象上升（下降）,也就是随着x的增大y也增大（或减小）；最后用数学符号语言描述．
问题1 如图2,观察一次函数f（x）＝x和二次函数f（x）＝x2的图象,说说随着x的增大,图象的升降情况．
函数f（x）＝x的图象由左到右是上升的；函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的．
意图：通过几何直观,引导学生关注图象所反映出的特征,体验自变量从小到大变化时,函数值大小变化在图象上的表现．
初步提出函数单调性的意义：函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调性．我们把二次函数f（x）＝x2在y轴左侧下降称为f（x）＝x2在区间 上“单调减”；在y轴右侧上升称为函数f（x）＝x2在区间 上“单调增”．
下面以二次函数f（x）＝x2为例,通过列出x,y的对应值来研究它的上升与下降情况．
问题2 观察下列表格,描述二次函数f（x）＝x2随x增大函数值的变化特征：
意图：从一个特殊例子,结合前面的图象特征,从数值变化角度认识函数的单调性．
图象在y轴左侧“下降”,也就是说,在区间 上,随着x的增大,相应的f（x）值反而随着减小；图象在y轴右侧“上升”,也就是说,在区间 上,随着x的增大,相应的f（x）值也随着增大．
问题3 对于一般函数f（x）,如果在区间 上有“图象上升”、“随着x的增大,相应的f（x）值也增大”的特点,那么应该怎样刻画呢?
意图：从形象到抽象,从具体到一般．先让学生尝试描述一般函数f（x）在 上“图象上升”、“随着x的增大,相应的f（x）值也增大”的特征．
这个问题具有较高的思维要求,需要“跳一跳才能摘到果子”．教学上,可以让学生开展讨论、交流．通过学生的活动,逐渐认识函数单调性的刻画方法．在这个过程中,二次函数的特征是一个具体的载体,可以起到验证、支持作用．
如果学生主动提出函数单调增的一般定义,则可以议论“为什么?”,让学生以二次函数f（x）＝x2为例解释定义的合理性．
给出函数单调性的一般定义．
一般地,设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
练习
下列说法是否正确?请画图说明理由：
（1）如果对于区间 上的任意x有f（x）＞f（0）,则函数f（x）在区间 上单调增；
（2）对于区间上（a,b）的某3个自变量的值x1,x2,x3,当a＜x1＜x2＜x3＜b时,有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜f（b）,则函数f（x）在区间（a,b）单调增．
意图：使学生进一步体验到定义中“任意”二字的必要性．
3．单调性概念的应用
通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识．
例1 物理学中的波利尔定律 （k是正常数）告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小,压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
分析怎样来证明“体积V减小,压强p将增大”呢,根据函数单调性的定义,只要证明函数 （k是正常数）是减函数．怎样证明函数 （k是正常数）是减函数呢,只要在区间（0,＋∞）（因为体积V＞0）任意取两个大小不相等的值,证明较小的值对应的函数值较大,即
设V1＜V2,去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0．
证明 设V1＜V2,V1,V2∈（0,+∞）．
因为k是正常数,V1＜V2,所以 ＞0,p1＞p2．
所以,体积V减小,压强p将增大．
教师把重心放在思路的分析（函数单调性的理解、运用）上,而让学生进行具体证明步骤的书写．
练习
画出反比例函数y＝ 的图象．
（1）指出这个函数的定义域I是什么；
（2）它在定义域I上具有怎样的单调性?证明你的结论．
答：（图象略）．
（1）这个函数的定义域I＝（－∞,0）∪（0,＋∞）．
（2）在区间（－∞,0）上函数单调减,在区间（0,＋∞）上函数也单调减．（证明略）
十.学习评价和反馈
1．举一个与实际生活联系的例子,并说明这个函数在定义域上是减函数．
2．画图说明：函数f（x）在它的定义域I内的两个区间D1,D2上都单调增,而在定义域I上并不单调增．
3．证明函数f（x）＝x2－2x在区间（1,+∞）上是增函数．
4．研究函数f（x）＝ 的单调性．
十一.教学启发
学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力,以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,问题串的设计可以让更多的学生主动参与,师生对话可以实现师生合作,适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神,知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,为学生的可持续发展打下基础．