量子力学中,一个算符在不同表象中的基矢个数是否相同?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 11:01:08

量子力学中,一个算符在不同表象中的基矢个数是否相同?
如果不相同,那么是否违背线性代数中的基本定理?
比如| f1> | f2> | f3 >是F表象中的全部基矢,| g1> | g2 >是G表象中的全部基矢
| f1 > = | g1 >< g1 | f1 > + | g2 >< g2 | f1 >
| f2 > = | g1 >< g1 | f2 > + | g2 >< g2 | f2>
| f3 > = | g1 >< g1 | f3 > + | g2 >< g2 | f3 >
那么| f1 > | f2 > | f3 >是否线性相关从而引发矛盾?
如果相同,为什么书中都是用不同的字母符号表示两个空间的维度?

如果两个表象表示的是同一个物理体系,那么这两个体系的rank是一样的,
你没有理解基矢的意思,
什么是基矢?什么是基矢的展开?
比方说一个三维空间,我们可以把x、y、z最为基矢,也可以把x+y、x-y,z作为基矢,
对于同一个空间我们所用来描述这个空间的基矢的个数是一致的,
都是彼此线性独立并且是完备的.
当然,你采用不同的基矢进行展开是另外一码事,
比方说你的函数是x+y+z,那么你用前一类基矢来表示,
就是1（x）+1（y）+1（z）,你用后一个基矢来表示就是1（x+y）+0（x-y）+1（z）,
（这里我就不归一化了,给你讲一个意思）
也就是说,同一个物理量,你可能在这个基矢下展开需要用两个,在另一个基矢下展开需要用三个,彼此的转换系数你已经会了.你展开的个数虽然可能是两个,可能是三个,但是实际上你的整个空间的维度是不变的.
再举一个例子,在三维空间里面,一个线段你可以用一个向量来表示对吧,如果沿x轴或者y轴的话,你的确可以用一个基矢来表示,但是这并不改变你这个空间本身的三维结构.同样的,一个物理量,你可能正好取到某一个本征值上面,就可以用一个基矢来表示,但是这并不改变该物理量解空间的维度.
因此,一个物理量的解空间是不可能存在两个秩,即表示该物理量的线性无关组不可能发生数量上的改变,如果F表象和G表象的基矢数量不一致,那么就一定不是表示同一个物理量.

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