反函数的二次倒数问题已知f'(x)=ke^x k为常数,求f(x)的反函数的二阶导数,设f(x)的反函数为g(x)根据定

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 12:45:42

反函数的二次倒数问题
已知f'(x)=ke^x k为常数,求f(x)的反函数的二阶导数,
设f(x)的反函数为g(x)
根据定理反函数的导数等于原函数导数的倒数.
则 g'(x)=1/f'(x)=1/(ke^x)
g"(x)=[1/(ke^x]'=1/(ke^x)
我是这么做的,错了,答案上是反函数的一次倒数是1/ke^x,二次倒数是d^2x/dy^2=(1/ke^x)'乘以dx/dy,这里不是应该再次求导的吗,怎么乘以dx/dy

问题出在g'(x)=1/f'(x)=1/(ke^x)成立
但g''(x)=[1/(ke^x)]'=1/(ke^x)不成立
g(x)中的x相当于原函数中的y,即f(x),
但ke^x中的x还是相当于原函数中的x
反函数的一阶导数再求导,相当于对原函数的y求导
而你是直接对x求导,所以结果不对
要么你就把反函数g(x)的表达式原原本本的求出来
再在g(x)表达式的基础上进行求导,彻底摆脱与f(x)的关系
要么你要用定理,就要理解透彻
g'(x)=dx/dy=1/(dy/dx)=1/f'(x)
g''(x)=d(dx/dy)/dy=d(dx/dy)/dx*dx/dy=d(1/(dy/dx))/dx*1/(dy/dx)
=d(1/f'(x))/dx*1/f'(x)=[1/f'(x)]'*1/f'(x)
=[1/(ke^x)]'*1/(ke^x)

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