神马作文网求教一个高数问题.如图所示.i平方,求i从1到n的所有项的和,怎么等于后面的1/6*n*(n+1)*（2n+1）的?最好
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 20:04:02
求教一个高数问题.
如图所示.i平方,求i从1到n的所有项的和,怎么等于后面的1/6*n*(n+1)*（2n+1）的?最好能说一下原理.
如图所示.i平方,求i从1到n的所有项的和,怎么等于后面的1/6*n*(n+1)*（2n+1）的?最好能说一下原理.
你好!
∵ (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k +1
∴ (k+1)³ - k³ = 3k² + 3k +1
k=1 时,2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 1
k=2时,3³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 1
k=3时,4³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1
……
k=n时(n+1)³ - n³ = 3×n² + 3×n +1
以上式子相加得：
(n+1)³ - 1³ = 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3（1+2+3+…+n） + n
= 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3n(n+1)/2 + n
∴ 1²+2²+3²+…+n² =[ (n+1)³ - (n+1) - 3n(n+1)/2 ] /3
= (n+1) [ (n+1)² - 1 - 3n/2 ] /3
= (n+1) [n² - n/2] / 3
= n(n+1)(2n+1) / 6
再问： 额。。请问下为什么是k+1的三次方？不是i的平方么？
再答： 通过立方差公式构造平方和
∵ (k+1)³ = k³ + 3k² + 3k +1
∴ (k+1)³ - k³ = 3k² + 3k +1
k=1 时,2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 1
k=2时,3³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 1
k=3时,4³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1
……
k=n时(n+1)³ - n³ = 3×n² + 3×n +1
以上式子相加得：
(n+1)³ - 1³ = 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3（1+2+3+…+n） + n
= 3（1²+2²+3²+…+n²）+ 3n(n+1)/2 + n
∴ 1²+2²+3²+…+n² =[ (n+1)³ - (n+1) - 3n(n+1)/2 ] /3
= (n+1) [ (n+1)² - 1 - 3n/2 ] /3
= (n+1) [n² - n/2] / 3
= n(n+1)(2n+1) / 6
再问： 额。。请问下为什么是k+1的三次方？不是i的平方么？
再答： 通过立方差公式构造平方和
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