任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下（p（p-a）（p-b）（p-c））

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 17:43:59

任意三角形其三边分别为a、b、c,求证其面积S=根号下（p（p-a）（p-b）（p-c））
注：p为三角形的半周长,即p=（a+b+c）/2.

这个公式又被称做海伦公式.不怕麻烦就证明吧.
海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表.
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=frac{a+b+c}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.
[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}
从而有
sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }
因此三角形的面积S为
S = fracab sin(C)
= fracsqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出.

（1）海伦---秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a,b,c,设p=a+b+c/2,则三角形的面积为S=根号p(p- 一个三角形的三边分别为a,b,c,设p=1/2(a+b+c),那么可根据公式S=根号（p-a）（p-b）（p-c）巳知三角形三边为a,b,c 设p=1/2(a+b+c) 求证三角形面积s=根号p(p-a)(p-b)(p-c) 三角形面积公式S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)中的p怎么算? 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,内切圆半径记为r,p=1/2（a+b+c）.求证:三角形面积S=rp. 设一个三角形的三边长分别为a，b,c,p=1/2(a+b+c),则有下列面积公式：S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 题如下：已知三边a b c ,设p=a+b+c/2,求证r为三角形内切圆半径,则 r=根号下（p-a)(p-b)(p-c 三角形的三边为ABC,设P=1/2(A+B+C),根据公式S=根号[P(P-A)(P-B)(P-C)],可以求出面积.当三角形三边长为a=8,b=10,c=16,若P=1/2(a+b+c).根据海伦公式,三角形面积S=根号[P(P-a)(P 海伦公式三角形面积S=根号p(p-a)(p-b)(p-c)是怎样推理出来的? 一道平面向量的题已知三角形ABC,求证S=更号下p（p-a）（p-b）（p-c）已知2p=a=b=c不好意思打错了是2 初三几何,圆.在线等求证：（1）设a、b、c分别为三角形ABC中角A、角B、角C的对边,面积为S,则内切圆半径r=S/p