神马作文网不同频率的正弦波电压和电流,如何证明?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/14 08:33:04
不同频率的正弦波电压和电流,如何证明?
您提的问题,可以用正弦信号的正交性解释.
所谓正弦信号的正交性,是指任意两个不同频率的正弦信号的乘积,在[-π~π]上的积分等于零.而有功功率的定义,恰好是电压信号与电流信号乘积在一个周期内的均值.均值即为积分值除以积分时间.因此,不同频率的正弦波的电压和电流不会做功.
这个问题,证明也很简单：
p（t）=sin（ω1t+θ1）*sin（ω2t+θ2）
采用三角函数的积化和差公式
p（t）=-[cos（ω1t+θ1+ω2t+θ2）-cos（ω1t+θ1-ω2t-θ2）]/2
=1/2 cos（（ω1-ω2）t+（θ1-θ2））-1/2 cos（（ω1+ω2）t+（θ1+θ2））
上式中左右两项均为余弦函数,由于ω1!=ω2,所以（ω1-ω2）t+（θ1-θ2）!=0,所以上式在一个周期内的积分必然等于零.
证明完毕!
另外,由上式可知,如果ω1-ω2=0,但是,θ1-θ2=90°,左式恒等于0,右式积分为零,有功功率仍然等于0.这就是相同频率时,相位差为90°时的情形!
因此,不同频率的正弦波电压和电流的功率等于零还可以扩展为：
任意频率的正弦电压和电流,只要某一瞬间相位差达到90°,那么,其有功功率（一个周期内的平均功率）等于零.（相同频率要求初始相位差为90°,不同频率不论初始相位差多少,必然存在一个时刻,两者的相位差达到90°）
所谓正弦信号的正交性,是指任意两个不同频率的正弦信号的乘积,在[-π~π]上的积分等于零.而有功功率的定义,恰好是电压信号与电流信号乘积在一个周期内的均值.均值即为积分值除以积分时间.因此,不同频率的正弦波的电压和电流不会做功.
这个问题,证明也很简单：
p（t）=sin（ω1t+θ1）*sin（ω2t+θ2）
采用三角函数的积化和差公式
p（t）=-[cos（ω1t+θ1+ω2t+θ2）-cos（ω1t+θ1-ω2t-θ2）]/2
=1/2 cos（（ω1-ω2）t+（θ1-θ2））-1/2 cos（（ω1+ω2）t+（θ1+θ2））
上式中左右两项均为余弦函数,由于ω1!=ω2,所以（ω1-ω2）t+（θ1-θ2）!=0,所以上式在一个周期内的积分必然等于零.
证明完毕!
另外,由上式可知,如果ω1-ω2=0,但是,θ1-θ2=90°,左式恒等于0,右式积分为零,有功功率仍然等于0.这就是相同频率时,相位差为90°时的情形!
因此,不同频率的正弦波电压和电流的功率等于零还可以扩展为：
任意频率的正弦电压和电流,只要某一瞬间相位差达到90°,那么,其有功功率（一个周期内的平均功率）等于零.（相同频率要求初始相位差为90°,不同频率不论初始相位差多少,必然存在一个时刻,两者的相位差达到90°）