A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证:ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 12:50:57
A,B是n阶方阵,E是n阶单位阵,求证:ABA=B^-1的充分必要条件是:秩(E+AB)+秩(E-AB)=n
(只需要证充分性)谢谢~
(只需要证充分性)谢谢~
ABA是逆当且仅当ABAB = E,即(AB)^2 = E.
充分性:记C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考虑下述的分块矩阵用一系列初等变换:
E+C 0
0 E-C
E+C E-C
0 E-C
2E E-C
E-C E-C
2E E-C
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
2E 0
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
由于初等变换保秩,所以第一个矩阵和最后一个矩阵秩相等.
第一个矩阵由条件秩为n,所以最后一个矩阵中分块的部分
E-C - (E-C)(E-C)/2 = (E+C)(E-C)/2 = 0
所以C^2 = E,证毕.
再问: 谢谢,看懂了~方法很巧妙~
再答: 这是比较常用的方法,可以处理很多矩阵的秩不等式
充分性:记C=AB,若rank(E-C) + rank(E+C) = n,考虑下述的分块矩阵用一系列初等变换:
E+C 0
0 E-C
E+C E-C
0 E-C
2E E-C
E-C E-C
2E E-C
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
2E 0
0 E-C - (E-C)(E-C)/2
由于初等变换保秩,所以第一个矩阵和最后一个矩阵秩相等.
第一个矩阵由条件秩为n,所以最后一个矩阵中分块的部分
E-C - (E-C)(E-C)/2 = (E+C)(E-C)/2 = 0
所以C^2 = E,证毕.
再问: 谢谢,看懂了~方法很巧妙~
再答: 这是比较常用的方法,可以处理很多矩阵的秩不等式
:设A是元素为整数的n阶方阵,则存在元素为整数的n阶方阵B,使得AB=E的充分必要条件
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