设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫π0f(x)dx＝0

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 10:50:25

设函数f（x）在[0，π]上连续，且

∫

f(x)dx＝0

【解法一】令 F（x）=
∫x0f(t)dt，显然，F（0）=0．由已知条件可得，F（π）=0．
因为 0=
∫π0f(x)cosxdx=
∫π0cosxdF（x）=F(x)cosx
|π0+
∫π0F（x）sinxdx=
∫π0F（x）sinxdx，
利用积分中值定理，存在ξ∈（0，π），使得 F（ξ）sin ξ=0．注意到 sin ξ＞0，故有 F（ξ）=0．
从而，F（0）=F（ξ）=F（π）=0．
在区间[0，ξ]与[ξ，1]上分别利用罗尔定理可得，至少存在ξ₁∈[0，ξ]，ξ₂∈[ξ，1]，
使得 F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
即：f（ξ₁）=f（ξ₂）=0．
【解法二】由
∫π0f(x)dx=0 可知，存在 ξ₁∈（0，π），使得 f（ξ₁）=0．
否则，f（x）在区间（0，π）内恒为正数或者负数，由积分的保号性可知，

∫baf(x)dx为正数或者负数，与
∫π0f(x)dx=0 矛盾．
反设结论不成立，即：f（x）=0 在区间（0，π）内仅有一个实根 x=ξ₁．
由于
∫π0f(x)dx=0，故 f（x）在区间（0，ξ₁）与（ξ₁，π）上异号．
不妨设 f（x）在区间（0，ξ₁）上恒为正数，在区间（ξ₁，π）上恒为负数．
由已知条件计算可得，
     0=
∫π0f(x)cosxdx-cos（ξ₁）
∫π0f(x)dx
=
∫π0f（x）（cosx-cosξ₁）dx
=
∫ξ10 f（x）（cosx-cosξ₁）dx+
∫πξ1 f（x）（cosx-cosξ₁）dx
=I₁+I₂，
因为余弦函数 cosx 在（0，π）上为单调减函数，并注意到f（x）在区间（0，ξ₁）上恒为正数，在区间（ξ₁，π）上恒为负数，
故有 I₁＞0，I₂＞0，与 I₁+I₂=0 矛盾．故反设不成立，即在区间（0，π）上，除 ξ₁外，f（x）至少还有一个零点ξ₂．

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