求助一个线性代数的问题

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 04:36:07

求助一个线性代数的问题
设Q是非齐次线性方程组AX=b的一个解,X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明
（1）Q,X1,X2.X(n-r)线性无关
（2）Q,Q+X1,Q+X2,...Q+X(n-r)线性无关

证明：
（1）假设Q,X1,X2.X(n-r)线性相关
则存在一组不全为0的数a(0),a(1)...a(n-r)使得
a(0)Q+a(1)x1+...a(n-r)X(n-r)=0——(i)
两边左乘A得
a(0)AQ+a(1)AX1+...a(n-r)AX(n-r)=0
由于X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系
即AXi=0(i=1,2...n-r)
Q是非齐次线性方程组AX=b的一个解,AQ=b
于是a(0)b=0,由于b≠0,于是a(0)=0
代入(i)得a(1)x1+...a(n-r)X(n-r)=0
又根据X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,即X1,X2,...X(n-r)线性无关,所以满足上式的条件只能是a(1)=a(2)=...a(n-r)=0
这与a(0),a(1)...a(n-r)不全为0矛盾
因此Q,X1,X2.X(n-r)线性无关
(2)假设Q,X1+Q,X2+Q.X(n-r)+Q线性相关
则存在一组不全为0的数b(0),b(1)...b(n-r)使得
b(0)Q+b(1)(x1+Q)+...b(n-r)(X(n-r)+Q)=0
(b(0)+b(1)...b(n-r))Q+b(1)x1+...b(n-r)X(n-r)=0——(ii)
两边左乘A得
(b(0)+b(1)...b(n-r))AQ+b(1)AX1+...b(n-r)AX(n-r)=0
由于X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系
即AXi=0(i=1,2...n-r)
Q是非齐次线性方程组AX=b的一个解,AQ=b
于是b(0)b=0,由于b≠0,于是
b(0)+b(1)...b(n-r)=0——(iii)
代入(ii)得b(1)x1+...b(n-r)X(n-r)=0
又根据X1,X2,...X(n-r)是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,即X1,X2,...X(n-r)线性无关,所以满足上式的条件只能是b(1)=b(2)=...b(n-r)=0
再代入(iii)得b(0)=0
这与b(0),b(1)...b(n-r)不全为0矛盾
因此Q,X1,X2.X(n-r)线性无关

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