神马作文网平面与平面的垂直判定问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/21 01:40:54
平面与平面的垂直判定问题
已知四棱锥P-ABCD,它的底面是边长为a的棱形,且∠ABC=120度,PC⊥平面ABCD又PC=a,E为PA中点
1,求证平面EBD⊥平面ABCD
2,求二面角A-BE-D的正切值
需要图文解析,我才学必修二
已知四棱锥P-ABCD,它的底面是边长为a的棱形,且∠ABC=120度,PC⊥平面ABCD又PC=a,E为PA中点
1,求证平面EBD⊥平面ABCD
2,求二面角A-BE-D的正切值
需要图文解析,我才学必修二
(1)已知PC=AB=BC=CD=DA=a.E为PA中点,连接BD,AC.
∵∠ABC=120度,∴∠DAB=60度, 又DA= AB, ∴BD= a,
G为AC,BD中点, 连接EG,EG平行PC, ∵PC⊥平面ABCD
∴EG⊥平面ABCD, ∴平面EBD⊥平面ABCD.
(2)做EB中点F,连接AF,FG, ∵BD⊥AC, ∴AG=√(AB^2-BG^2)= ((√3)/2)a,
AC=2AG=(√3)a,PC=a,∴AP=√(AC^2+PC^2)=2a,∴AE=1/2AP=a,
∴AB=AE,∴AF⊥EB,又EG=1/2PC=a/2,BG=1/2BD=a/2,EG⊥平面ABCD.
∴EB=√(EG^2+BG^2)= ((√2)/2)a.同理DE=((√2)/2)a,∴ EB^2+ED^2=a^2=BD^2.
∴DE⊥EB.F是EB中点,G为BD中点, ∴GF平行DE,GF⊥EB.
∠AFG为二面角A-BE-D的平面角,GF=((√2)/4)a,AF= AE2-EF2=((√14)/4)a
AG=((√3)/2)a,∴GF^2+AG^2=AF^2,AG⊥FG,tan∠AFG=AG/FG= (√6)
∵∠ABC=120度,∴∠DAB=60度, 又DA= AB, ∴BD= a,
G为AC,BD中点, 连接EG,EG平行PC, ∵PC⊥平面ABCD
∴EG⊥平面ABCD, ∴平面EBD⊥平面ABCD.
(2)做EB中点F,连接AF,FG, ∵BD⊥AC, ∴AG=√(AB^2-BG^2)= ((√3)/2)a,
AC=2AG=(√3)a,PC=a,∴AP=√(AC^2+PC^2)=2a,∴AE=1/2AP=a,
∴AB=AE,∴AF⊥EB,又EG=1/2PC=a/2,BG=1/2BD=a/2,EG⊥平面ABCD.
∴EB=√(EG^2+BG^2)= ((√2)/2)a.同理DE=((√2)/2)a,∴ EB^2+ED^2=a^2=BD^2.
∴DE⊥EB.F是EB中点,G为BD中点, ∴GF平行DE,GF⊥EB.
∠AFG为二面角A-BE-D的平面角,GF=((√2)/4)a,AF= AE2-EF2=((√14)/4)a
AG=((√3)/2)a,∴GF^2+AG^2=AF^2,AG⊥FG,tan∠AFG=AG/FG= (√6)