不定方程求助x^2+5y^2=a^2x^2+10y^2=b^2其中x,y,a,b,均为正整数.求x,y,a,b的所有解.

不定方程求助
x^2+5y^2=a^2
x^2+10y^2=b^2
其中x,y,a,b,均为正整数.
求x,y,a,b的所有解.
(其实我一个都没解出来)

这个问题是很难的,你确定"稍加演算就能得出"就是指的这个问题,而没有其它条件?
设r = a/x,s = b/x,t = y/x,易见:
求x²+5y² = a²,x²+10y² = b²的正整数解等价于求r²-5t² = 1,s²-10t² = 1的正有理数解.
设u = 5(s-1)/(2r-s-1),v = 50t/(2r-s-1),可验证v² = u³-25u,
且有r = (v²+50u)/(v²-10u²),s = (v²+10u²)/(v²-10u²),t = (2uv)/(v²-10u²) (过程略).
因此r²-5t² = 1,s²-10t² = 1的有理解一一对应于v² = u³-25u的有理解(除去分母得零的情况外).
问题可基本等价的变为求v² = u³-25u的全体有理解.
由方程v² = u³-25u给出的曲线属于一类称为椭圆曲线的代数曲线(注意不是椭圆),
是数学中很重要的一类研究对象,关于其有理点有很深刻的理论.
设P(u₁,v₁),Q(u₂,v₂)是其上的点(u₁ ≠ u₂),
可知直线PQ的方程是v = κu+λ,其中κ = (v₂-v₁)/(u₂-u₁),λ = (v₁u₂-v₂u₁)/(u₂-u₁).
可算得PQ与曲线的第三个交点坐标为(κ²-u₁-u₂,κ³-κu₁-κu₂+λ)
u₃ = κ²-u₁-u₂,v₃ = -κ³+κu₁+κu₂-λ,则(u₃,v₃)也是曲线上的点,
且当P,Q均为有理点,可知(u₃,v₃)也是有理点.
这样定义了曲线上有理点的一种"加法"(u₁ = u₂的情况也可定义,细节略),
使得我们可以从几个有理点出发,得到更多的有理点.
对于曲线v² = u³-25u,不难找到有理点T₁(0,0),T₂(5,0),T₃(-5,0).
此外,P(25/4,75/8)也是其上的有理点.
可以证明(很难),曲线上的全体有理点具有[k]P+T的形式,
其中k为整数,[k]P表示P在上述加法下的k个P相加的结果,T是T₁,T₂,T₃之一或者O(不加).
这样可以写出曲线上的无穷多个有理点,对应原方程的无穷多组既约的正整数解.
但是不能指望有闭形式的通解表达式(只能用[k]P+T这样的形式表示),证明也不是一般的难.
所以你大概是少了条件或者误会书上的意思了.
下面列几个曲线v² = u³-25u上的有理点,作为问题难度的佐证:
P = (25/4,75/8);
[2]P = (1681/144,-62279/1728);
[3]P = (127351225/2439844,1430549626725/3811036328);
[4]P = (11183412793921/2234116132416,1791076534232245919/3339324446657665536).
由这些u,v算出的r,s,t依次为:
(-41/31,-49/31,-12/31),对应正整数解(x,y,a,b) = (31k,12k,41k,49k);
(-3344161/113279,-4728001/113279,1494696/113279),
对应正整数解(x,y,a,b) = (113279k,1494696k,3344161k,4728001k).
后面两个数字太大就不写了,总之即便是既约的正整数解也有无穷多组.