第一次数学危机的影响?

第一次数学危机的影响?

人类对数的认识经历了一个不断深化的过程,在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展.其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义,它在西方数学史上曾导致了一场大的风波,史称“第一次数学危机”.
如果追溯这一危机的来龙去脉,那么就需要我们把目光投向公元前6世纪的古希腊.那时,在数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派.这一学派的创立者毕达哥拉斯是著名的哲学家、数学家.他在哲学上提出“万物皆数”的论断,并认为宇宙的本质在于“数的和谐”.他所谓“数的和谐”是指：一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比.与此相对应,在数学中他提出任意两条线段的比都可表为整数或整数的比,用他的话说就是：任意两条线段都是可通约的.他在数学上最重要的功绩是提出并证明了毕达哥拉斯定理,即我们所说的勾股定理.然而深具讽刺意味的是,正是他在数学上的这一最重要发现,却把他推向了两难的尴尬境地.
他的一个学生希帕索斯在摆弄老师的著名成果毕达哥拉斯定理时,提出了这样一个问题：正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢?换句话说,两者的比是不是有理数呢?经过认真的思考,他发现这个数既不是整数,也不是一个分数,而是一个全新的数,我们现在知道这个数是 .这是人类历史上诞生的第一个无理数.它的诞生是人类对数认识的一次重大飞跃,是数学史上的伟大发现.然而作为老师的毕达哥拉斯并没有为这一重大发现而欢欣鼓舞,相反他陷入极度不安之中.如果不赞同它,理智上无法接受,学生的论断毕竟是找不出毛病的呀!可是如果赞同,感情上更难接受.因为这一发现对他来说是致命的,它将完全推翻他自己的数学与哲学信条.于是这就导致了“毕达哥拉斯的两难”.在这两难处境下,他先是在学派内封锁这一发现,不让它传到外界.后来当希帕索斯本人把发现泄漏后,他让学派内的成员把希帕索斯抛入了大海.这就是聪明的学生从伟大的老师那里获得的“奖赏”!被后人尊为“智慧之神”的毕达哥拉斯不是有勇气承认自己的错误,而是想通过暴力压制真理,这一作法令他一生蒙羞,成为他一生中的最大污点.然而真理毕竟是扑不灭的,希帕索斯所提出的问题（史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”）也没有随同主人一起抛入大海,而是在社会上流传开来.
其实,这一悖论的提出不但对毕达哥拉斯学派是致命的,它对当时所有人的观念都是一个极大的冲击.当时人们根据经验完全确信：一切量都可以用有理数表示.即便是在现在测量技术已经高度发展后,任何量在任何精确度范围内都可以表成有理数不仍是正确的吗?然而这一完全符合常识的论断居然被 的存在而推翻了!这是多么违反常识、多么荒谬的事呀!更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法.这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而产生了数学上的第一次危机.直到二百年后,数学家欧多克索斯建立了一套完整的比例论,使比例论不仅适用于可通约线段,也适用于不可通约线段,才用几何方法把由于无理数的出现而引起的数学危机解决了.
这次数学危机对希腊数学产生了决定性的影响.首先,希腊人得出直觉、经验都不是绝对可靠的,推理论明才是可靠的,因而希腊人此后更加重视逻辑,并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学.其次,由于整数及其比不能包括一切几何量,但几何量却可以表示一切数,因此希腊人认为几何较之算术占着更重要的地位.在其后的希腊数学中,这种几何对算术的优势支配了希腊数学一千年.
希帕索斯的发现导致了第一次数学危机,然而为了解决这一危机,却又导致了古希腊古典逻辑学与公理几何学的诞生.这恐怕正是这一事件给予我们的一大启示：提出似乎无法解答的问题并不可怕,相反,这种问题的提出往往会成为数学发展中的强大推动力,使数学在对问题的克服中向前大步迈进,这在数学发展史上实在是不鲜见的.