三垂线定理如何证明:在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 05:31:15
三垂线定理
如何证明:在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC
如何证明:在四面体A-BCD中,如果两组对了棱AB垂直CD,DB垂直AC,那么第三组对棱DA垂直BC
AB⊥DC……①
设AO⊥平面BCD.O为垂足,
则AO⊥BC.AO⊥CD……②.
从①②CD⊥平面AOB.
在平面BCD上,过O作OE‖DC(E,C同向)
OA,OB,OE相互垂直.
取O为原点,OB为X轴正向,OE为Y轴正向,OA为Z轴正向.
则A,B,C,D有:A(0,0,c),B(a,0,0),C(-d,e,0),D(-d,f,0).
六条掕向量:
AB={a,0,-c},AC={-d,e,-c},AD={-d,f,-c}
BC={-d-a,e,0},BD={-d-a,f,0},CD={0,f-e,0}.
AC⊥BD:AC·BD=0.(·为数积)
(-d-a)×(-d)+e×f+(-c)×0=0.……③
要证AD⊥BC,必证AD·BC=0.
即:(-d)×(-d-a)+f×e+(-c)×0=0……④
③④左边一致,∵③成立.∴④成立.
从而证明了AD⊥BC.
设AO⊥平面BCD.O为垂足,
则AO⊥BC.AO⊥CD……②.
从①②CD⊥平面AOB.
在平面BCD上,过O作OE‖DC(E,C同向)
OA,OB,OE相互垂直.
取O为原点,OB为X轴正向,OE为Y轴正向,OA为Z轴正向.
则A,B,C,D有:A(0,0,c),B(a,0,0),C(-d,e,0),D(-d,f,0).
六条掕向量:
AB={a,0,-c},AC={-d,e,-c},AD={-d,f,-c}
BC={-d-a,e,0},BD={-d-a,f,0},CD={0,f-e,0}.
AC⊥BD:AC·BD=0.(·为数积)
(-d-a)×(-d)+e×f+(-c)×0=0.……③
要证AD⊥BC,必证AD·BC=0.
即:(-d)×(-d-a)+f×e+(-c)×0=0……④
③④左边一致,∵③成立.∴④成立.
从而证明了AD⊥BC.
已知,在四面体A-BCD中,AB=AD,CB=CD,试用向量方法证明:BD垂直AC.
在四面体A-BCD中,AB=AD,CB=CD,试用向量方法证明:BD垂直AC
在四面体ABCD中,AB垂直CD,AC垂直BD.求证:AD垂直BC.
在四面体ABCD中已知AB垂直CD,AC垂直BD求证AD垂直BC,
在四面体ABCD中,AB垂直CD.AD垂直BC.求证AC垂直BD
已知四面体ABCD的棱AB垂直CD,AC垂直BD,求证:AD垂直BC.
如图,四面体ABCD,AB垂直CD,AD垂直BC,AO垂直平面BCD于O,求证AC垂直BD
四面体ABCD中,AB垂直于CD.AC垂直于BD.用向量证明 AD垂直于BC
已知四面体ABCD中,AB垂直CD,AC垂直BD,求证AD垂直BC
在四面体ABCD中,若AB与CD垂直,AD与BC垂直,求证AC与BD垂直.
如图所示,三棱柱A-BCD中,若三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,求证:过顶点A向下底面BCD做垂线,则垂足O为底面
用向量法证明已知正四面体ABCD,若AB垂直CD,AD垂直BC,则AC垂直BD