将函数展开为洛朗级数将函数f(z)=1/(1+z^2) 分别在z =0 点和 z=-i点展开为洛朗级数大学复变函数问题

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 06:37:48

将函数展开为洛朗级数
将函数f(z)=1/(1+z^2) 分别在z =0 点和 z=-i点展开为洛朗级数
大学复变函数问题

在z=0的圆环域0＜|z|＜1内,f(z)=1/(z^2+1)=∑(-1)^n×z^(2n),其中的n从0开始取值.
在z=-i的圆环域0＜|z+i|＜2内,f(z)=1/(z+i)×1/(z-i).
其中1/(z-i)＝1/(z+i)×1/(z+i-2i)＝-1/(2i)×1/(1-(z+i)/(2i))＝-1/(2i)×∑(z+i)^n/(2i)^n,n从0开始取值.
所以,f(z)=-1/(2i)×∑(z+i)^(n-1)/(2i)^n=-∑(z+i)^(n-1)/(2i)^(n+1),n从0开始.
或者写成-∑(z+i)^n/(2i)^(n+2),n从-1到+∞.
再问：请问能解释一下每个大步骤的解题思路和套用到的公式吗? 用纸写最好
再答：想方设法利用等比级数1/(1-z)=1+z+z^2+....+z^n+...，|z|＜1。方法就是幂级数的加、减、乘，逐项求导，逐项积分
再问： z=0 的级数展开明白了！非常感谢！不过请问 z=-i 能再详细说说吗
再问：而且我发现你的解题步骤是使用了泰勒级数的公式是吧？这样解洛朗级数也是一样的吗？去年没学好今年缓考的...
再答：洛朗级数的讨论就是在泰勒级数的基础上展开的。

z=-i时，1/(z+i)已经不需要展开了，它已经是z+i的幂次了。对于1/(z-i)的展开就是套用等比级数公式，把分母转换成(z+i)-2i的形式，进一步就变成了等比级数需要的形式1/(1-(z+i)/2i)，公比是(z+i)/2i

试将函数f(z)=1/(z-4)(z-3)以z=2为中心在全平面展开为泰勒或洛朗级数. 请将函数 f(z)=1/(z(z+i)) 分别在下列区域内展开成洛朗级数将函数f(z)=1/(z+2)(z+1)在z=a的领域内展开为泰勒级数将函数f（z）=1/（z^3+1),在Z0=0展开成泰勒级数在0＜|Z|＜1的环域上将函数f(z)=1/z(1-z)展开成洛朗级数. 将函数 f(Z)=Z/Z+2展开成Z-2的幂级数复变函数题 1/(1+z∧2)在z=0泰勒级数为 ( )收敛半径为( ) 求f(z)=z/(z+2)展开为z的泰勒级数... 1/z^2(z-i)在以i为中心的圆域内展开为洛朗级数 ln（1+e^z)和(1+z)^(1/z)在z0=0应如何展开为泰勒级数泰勒级数问题利用函数运算将下列函数在指定点展开为泰勒级数.f(x)=1/(1-x),x=-1 复变函数展开泰勒问题f(z)=1/(1-z)^2 在z=0处展开,书上答案是∑（n=1 ∞）nz^（n-1）而我求出来是