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如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 07:14:47
如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.

(1)求证:△BDQ≌△ADP;
(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号).
如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ABD=∠CBD=
1
2∠ABC,AD∥BC,
∵∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,∠ABC=120°,
∴AD=BD,∠CBD=∠A=60°,
∵AP=BQ,
∴△BDQ≌△ADP(SAS);
(2)过点Q作QE⊥AB,交AB的延长线于E,
∵BQ=AP=2,
∵AD∥BC,
∴∠QBE=60°,
∴QE=QB•sin60°=2×

3
2=
3,BE=QB•cos60°=2×
1
2=1,
∵AB=AD=3,
∴PB=AB-AP=3-2=1,
∴PE=PB+BE=2,
∴在Rt△PQE中,PQ=
PE2+QE2=
7,
∴cos∠BPQ=
PE
PQ=
2

7=
2
7
7.