神马作文网一道立体几何题解题过程的疑问
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 19:07:23
一道立体几何题解题过程的疑问
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1中点,O为底面ABCD的中心,求证B1O垂直平面PAC.
答案是这样的：
油AB1=CB1,O为AC中点,所以B1O垂直AC
设正方体边长为2,则（从这以后开始不理解）
PO2=PD2+DO2=3,（2为平方）
B1O2=BB12+BO2=6,
PB12=PD12+D1B12=9
所以PB12=PO2+B1O2
所以B1O垂直PO,AC交PO=O
所以可证得
麻烦问一下,为什么可以得出PO2=PD2+DO2=3,
B1O2=BB12+BO2=6,
PB12=PD12+D1B12=9这些步骤?
我的意思是，怎么说那几个三角形是直角三角形
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1中点,O为底面ABCD的中心,求证B1O垂直平面PAC.
答案是这样的：
油AB1=CB1,O为AC中点,所以B1O垂直AC
设正方体边长为2,则（从这以后开始不理解）
PO2=PD2+DO2=3,（2为平方）
B1O2=BB12+BO2=6,
PB12=PD12+D1B12=9
所以PB12=PO2+B1O2
所以B1O垂直PO,AC交PO=O
所以可证得
麻烦问一下,为什么可以得出PO2=PD2+DO2=3,
B1O2=BB12+BO2=6,
PB12=PD12+D1B12=9这些步骤?
我的意思是，怎么说那几个三角形是直角三角形
由AB'=CB',O为AC中点,
∴BD⊥AC
设正方体边长为2
则DP'=DP=1
又∵ABCD-A'B'C'D'为正方体
∴A'D'⊥D'D
又∵A'D'在平面A'B'C'D'上
∴D'D⊥D'B'
如果一条直线垂直于一个平面,那么样它就和平面内任意一条直线垂直,反之如果一条直线垂直于平面内任意一条直线（A'D'⊥D'D）那么这条直线和这个平面垂直D'D⊥A'B'C'D'
∴△D'PB'为直角三角形
同理,B'B⊥BC
∴B'B⊥DB
∴△BB'O为直角三角形
∵PD⊥AD
∴PB⊥ABCD
∴PD⊥DO
∴△POD为直角三角形
∴PO2= PD2+ DO2
∵P为D'D的中点
∴PD为1
又∵正方形ABCD对角线
∴∠DOA=90°
DO=OA
又∵DA为2
∴DO=√2
∴PO2=（1）2+（√2）2
=3
B'O2=（BB1）2+（BO）2
∴BO2=22+（√2）2=6
（PB'）2=（D'B'）2
∵D'C=C'B=2
又∵∠DCB=90°
∴B'D'=√22+22=2√2
又∵D'P=1
∴PB'=12+（2√2）2
=9
∴（PB'）2=（PO）2+（B'O）2=9=-3+6
∴PB',PO,（B'O）为一组勾股数,
∴△B'D'P为直角三角形
又∵（PB）2为其它两边的平方和
∴DB'为斜边
∴∠POB'为直角
∴B'O⊥PD
注：22是2的平方的意思,√22是根号2的平方的意思.
∴BD⊥AC
设正方体边长为2
则DP'=DP=1
又∵ABCD-A'B'C'D'为正方体
∴A'D'⊥D'D
又∵A'D'在平面A'B'C'D'上
∴D'D⊥D'B'
如果一条直线垂直于一个平面,那么样它就和平面内任意一条直线垂直,反之如果一条直线垂直于平面内任意一条直线（A'D'⊥D'D）那么这条直线和这个平面垂直D'D⊥A'B'C'D'
∴△D'PB'为直角三角形
同理,B'B⊥BC
∴B'B⊥DB
∴△BB'O为直角三角形
∵PD⊥AD
∴PB⊥ABCD
∴PD⊥DO
∴△POD为直角三角形
∴PO2= PD2+ DO2
∵P为D'D的中点
∴PD为1
又∵正方形ABCD对角线
∴∠DOA=90°
DO=OA
又∵DA为2
∴DO=√2
∴PO2=（1）2+（√2）2
=3
B'O2=（BB1）2+（BO）2
∴BO2=22+（√2）2=6
（PB'）2=（D'B'）2
∵D'C=C'B=2
又∵∠DCB=90°
∴B'D'=√22+22=2√2
又∵D'P=1
∴PB'=12+（2√2）2
=9
∴（PB'）2=（PO）2+（B'O）2=9=-3+6
∴PB',PO,（B'O）为一组勾股数,
∴△B'D'P为直角三角形
又∵（PB）2为其它两边的平方和
∴DB'为斜边
∴∠POB'为直角
∴B'O⊥PD
注：22是2的平方的意思,√22是根号2的平方的意思.