关于圆锥曲线在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=x2上异于坐标原点O两不同动点A,B满足AO垂直于BO1,求三角形AOB

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 13:43:26

关于圆锥曲线
在平面直角坐标系XOY中,抛物线y=x2上异于坐标原点O两不同动点A,B满足AO垂直于BO
1,求三角形AOB的重心G的轨迹方程
2,三角形AOB的面积是否存在最小值?若不存在请说明理由,存在请求出

（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则X=1/3(X1+X2),Y=1/3(Y1+Y2) …（1）
∵OA⊥OB ∴Koa*Kob=-1,即X1X2+Y1Y2=-1 ,……(2)
又点A,B在抛物线上,有Y1=X1²,Y2=X2² ,代入（2）化简得X1X2=-1
∴Y=1/3(Y1+Y2)=1/3(X1²+X2²)=1/3〔(X1+X2)²-2X1X2〕=1/3*(3X)²+2/3=3X²+2/3
所以重心为G的轨迹方程为Y= 3X²+2/3
（II）S=1/2|OA|*| OB|=1/2√(X1²X2²+X1²Y2²+X2²Y1²+Y1²Y2²)
由（I）得S=1/2√(X1^6+X2 ^6+2)≥1
当且仅当X1^6=X2^6即X1=X2=-1 时,等号成立.
所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1