试讨论△ABC的重心,垂心,外心,内心"四心"中,若有其中"二心"互相重合,△ABC是否是等边三角形?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 12:24:18

是,如图,延长AP交BC于D（前四种）,理由如下：
①若P是重心,则BD=CD,
若P是垂心,则AD⊥BC
∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,
同理BA=BC,∴△ABC是等边三角形

②,若P是重心,则BD=CD,
若P是外心,则PB=PC,
PD垂直平分BC,又∵点A在PD上∴AB=AC,
同理BA=BC,∴△ABC是等边三角形

③若P是重心, 则CD=BD,
若P是内心,则∠CAD=∠BAD,
延长AD至E,使DE=AD,
则由△ACD≌△EBD得AC=BE,∠CAD=∠E,
∴∠E=∠BAD,∴AB=BE=AC,
同理BA=BC,∴△ABC是等边三角形

④若P是垂心,则∠ADB=∠ADC=90°,
若P是内心,则∠BAD=∠CAD,
又∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD,
∴AB=AC
同理BA=BC,∴△ABC是等边三角形

⑤若P是垂心,则AP⊥BC,
若P是外心,则P在BC的中垂线上,
由垂线的唯一性得AP即BC的中垂线,
∴AB=AC,
同理BA=BC,∴△ABC是等边三角形

⑥取三边中点D、G、F,分别连结PA、PB、PC、PD、PF、PG,
若P是内心,则∠GAP=∠FAP,
若P是外心,则PF⊥AC,PG⊥AB,即∠AFP=∠AGP=90°,
又∵AP=AP,∴△AFP≌△AGP,
又∵△AFP≌△CFP,
∴图中6个小△全等,以P为顶点的内角=60°,
∴以A、B、C为顶点的内角=30°,
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形

三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的（） A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心设O为△ABC的外心,点M满足向量OA+OB+OC=OM,则M是△ABC的什么心?A内心 B重心 C垂心数学中重心,垂心,内心,外心等心的定义三角形ABC的内心,外心,重心,垂心分别是什么?如何证明? 三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC上的射影为O. （A）重心（B）外心（C）内心（D) 垂心谁能说一下三角形中重心、垂心、外心、内心的判断方法?哪些条件可以证明四个心?四心跟向量有什么关系?用向量怎么判断? 三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为三角形ABC的_____(内心/外心/垂心/重心)? 重心、垂心、内心、外心重心　垂心　外心　内心垂心,重心,内心,外心, 三角形中有关内心外心垂心重心的向量关系三角形的内心,外心,垂心,重心有什么性质?