求解一道曲线积分的题C是一个在平面x+y+z=1上的简单光滑封闭的曲线展示 曲线积分 ∫c zdx-2xdy+3ydz
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 21:26:27
求解一道曲线积分的题
C是一个在平面x+y+z=1上的简单光滑封闭的曲线
展示 曲线积分 ∫c zdx-2xdy+3ydz 只取决于 C 的面积 而不是取决与其形状和位置
C是一个在平面x+y+z=1上的简单光滑封闭的曲线
展示 曲线积分 ∫c zdx-2xdy+3ydz 只取决于 C 的面积 而不是取决与其形状和位置
斯托克斯公式就能证明,(z,-2x,3y)的旋度
x分量:d(3y)/dy-d(-2x)/dz=3
y分量:d(z)/dz-d(3y)/dx=1
z分量:d(-2x)/dx-d(z)/dy=-2
所以原积分=∫∫ 3dydz+dzdx-2dxdy,积分域是C在平面内包围的部分
因为C在一个线性平面内,所以∫∫ 3dydz只和面积有关,同理另外两项也只和面积有关.
平面方程z=1-x-y,故dz/dx=-1,dz/dy=-1,
所以dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²) dxdy=√3 dxdy,
同理得到 dS=√3 dydz=√3 dxdy=√3 dzdx,
所以,原积分=2S/√3 ,只和面积有关.
x分量:d(3y)/dy-d(-2x)/dz=3
y分量:d(z)/dz-d(3y)/dx=1
z分量:d(-2x)/dx-d(z)/dy=-2
所以原积分=∫∫ 3dydz+dzdx-2dxdy,积分域是C在平面内包围的部分
因为C在一个线性平面内,所以∫∫ 3dydz只和面积有关,同理另外两项也只和面积有关.
平面方程z=1-x-y,故dz/dx=-1,dz/dy=-1,
所以dS=√(1+(dz/dx)²+(dz/dy)²) dxdy=√3 dxdy,
同理得到 dS=√3 dydz=√3 dxdy=√3 dzdx,
所以,原积分=2S/√3 ,只和面积有关.
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