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过点(3,0)的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 08:11:07
过点(3,0)的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算
过点(3,0)的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算
①当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=3,此时A(3,√7),B(3,-√7)
所以△OAB的面积=1/2×3×2√7=3√7
②当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-3),A(x1,y1),B(x2,y2)
将y=k(x-3)代入x²+y²=16得,x²+k²(x-3)²=16,
整理得:(1+k²)x²-6k²x+9k²-16=0
韦达定理:x1+x2=6k²/(1+k²)
x1x2=(9k²-16)/(1+k²)
所以|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=(28k²+64)/(1+k²)²
所以|x1-x2|=√(28k²+64) /(1+k²)
则AB=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]=√(1+k²) |x1-x2|
O到AB的距离d=|3k|/√(1+k²)
所以△OAB的面积=AB×d/2=3|x1-x2||k|/2
=3√(28k²+64) |k|/[2(1+k²)]
=3/2 √[k²(28k²+64)/(1+k²)²]
=1/4 √[36k²(28k²+64)/(1+k²)²]
≤1/4 √{[(36k²+28k²+64)/2]²/(1+k²)²}
=1/4 ×32
=8
综上:△OAB的面积最大为8