高中三角函数题,四边形ABCD外切于圆O,求证OAOC+OBOD=根号下ABBCCD*DA

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 16:48:34

高中三角函数题,四边形ABCD外切于圆O,求证OA*OC+OB*OD=根号下AB*BC*CD*DA

做出来啦!

设内切圆半径为r,2(α+β+γ+δ)=2π
AO=r/cosα,OC=r/cosγ,OB=r/cosγ,OD=r/cosδ
OA*OC+OB*OD=r²/(cosαcosγ)+ r²/(cosβcosδ)= r²(cosαcosγ+ cosβcosδ)/(cosαcosβcosγcosδ)
AB=AG+GB=rtanα+rtanβ=rsin(α+β)/cosαcosβ
根号下AB*BC*CD*DA=r²根号下(sin(α+β)sin(β+γ)sin(γ+δ)sin(δ+α)/(cos²αcos²βcos²γcos²δ))= r²sin(α+β)sin(β+γ)/(cosαcosβcosγcosδ)
注意到：sin(α+β)sin(β+γ)=sin²β(cosαcosγ)+cos²β(sinαsinγ)+sin(α+γ)sinβcosβ
sin(α+β)sin(β+γ)- cosαcosγ= cos²β(sinαsinγ- cosαcosγ) +sin(α+γ)sinβcosβ=cosβ(-cosβcos(α+γ)+sinβsin(α+γ))=-cosβcos(α+β+γ)= cosβcosδ
故cosαcosγ+ cosβcosδ= sin(α+β)sin(β+γ)
故命题成立
这种题目用把内心的四个角设出来,最简单.没有比这更简单的解法了.
有疑问欢迎追问!

如图所示 O为四边形ABCD内任一点求证OA+OB+OC+OD>1/2(AB+BC+CD+DA) 四边形ABCD中,AC垂直于BD,垂足为O,OA>OC,OD>OB,求证AB+CD>AD+BC （1）如图,四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,求证:OA=OC,OB=OD 已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,求证：AB=CD. 已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,OA=OC,OB=OD,求证；DC//AB 如图,AB,CD相交于点O,AC||BD,求证OA*OD=OB*OC 如图,四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且OD=OB,OA=OC,那么AB平行于CD吗?为什么? 梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,O为四边形内一点,且OB=OC.求证：OA=OD 如图,AB,CD相交于点O,AC‖BD,OA=OB,E,F分别是OC,OD的中点.求证：四边形AFBE是平行四边形已知,如图,AC,BD交于O点,且OA=OC,OB=OD.求证：AB平行CD,AD平行BC. 已知：如图，直线AD与BC交于点O，OA=OD，OB=OC．求证：AB∥CD．已知:如图,AB平行CD,AD与BC相交于点O,且OA=OD.求证OB=OC