神马作文网最小二乘法的问题最小二乘法 在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 20:32:00
最小二乘法的问题
最小二乘法
在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm ,ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1).
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”.
令:φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零.
(式1-4)
(式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
以上是我找的相关内容,问题也在其中
在百度找好多类是答案都没有我想要的答案
我是想知道为什么
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
我知道是用误差平方求最小值
可是是怎么从φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
变到(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
的呢?
求平方和最小就是在第二个方程式左右两边乘以Xi?
最小二乘法
在我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm ,ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1).
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”.
令:φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零.
(式1-4)
(式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：
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在百度找好多类是答案都没有我想要的答案
我是想知道为什么
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
我知道是用误差平方求最小值
可是是怎么从φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
变到(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
的呢?
求平方和最小就是在第二个方程式左右两边乘以Xi?
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)^2,对a0求导,得到：
0= ∑2(Yi-a0-a1xi)(-1) ==> 0=∑(Yi-a0-a1xi),或者,0=∑Yi - ∑a0 - ∑a1xi,或者,∑Yi = a0 ∑1 + a1∑xi,或者,∑Yi = a0 m + a1 ∑xi (假定一共m个数据）.
对a1求导,得到：
0= ∑2(Yi-a0-a1xi)(-xi) ==> 0=∑(Yixi-a0xi-a1xi^2),或者,0=∑Yixi - ∑a0xi - ∑a1xi^2,或者,∑Yixi = a0 ∑xi + a1∑xi^2.
这就是你想要的吧.
0= ∑2(Yi-a0-a1xi)(-1) ==> 0=∑(Yi-a0-a1xi),或者,0=∑Yi - ∑a0 - ∑a1xi,或者,∑Yi = a0 ∑1 + a1∑xi,或者,∑Yi = a0 m + a1 ∑xi (假定一共m个数据）.
对a1求导,得到：
0= ∑2(Yi-a0-a1xi)(-xi) ==> 0=∑(Yixi-a0xi-a1xi^2),或者,0=∑Yixi - ∑a0xi - ∑a1xi^2,或者,∑Yixi = a0 ∑xi + a1∑xi^2.
这就是你想要的吧.
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