如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点,且|AO|=2|OD|,过O的直线交边AB于M,交边AC于N
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 08:38:02
如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点,且|AO|=2|OD|,过O的直线交边AB于M,交边AC于N,记∠AOM=θ,
(1)则θ的取值范围为
(1)则θ的取值范围为
[
π |
3 |
(1)由题意可得,点O为等边三角形ABC的重心,
当点N与点C重合时,MN与AB垂直,M为AB的中点,OM取得最小值,
此时,θ最小,由cosθ=
MO
AO=
1
2,可得θ=
π
3.
当M与B重合时,此时,MN垂直于AC,θ取得最大值,由于cos(π-θ)=
ON
AO=
1
2,可得θ=
2π
3.
综上可得,θ的取值范围为[
π
3,
2π
3].
(2)由题意可得,AO=
2
3AD=
2
3×
3
2=
3
3;设∠ANO=α,则∠AMO=
2π
3-α.
△ANO中,由余弦定理可得
ON
sin30°=
AO
sinα,解得 ON=
3
6sinα.
同理求得 OM=
3
6Sin(
2π
3−α).
∴
1
|OM|2+
1
|ON|2=
36sin2(
2π
3−α)
3+
36sin2α
3
=12×
1−cos(
4π
3−2α)
2+12×
1−cos2α
2=12-6[cos(
4π
3-2α)+cos2α]
=12+6cos(2α+
π
3).
由(1)可得
π
3≤
5π
6-(
2π
3−α)≤
2π
3,可得
π
3≤2α≤π,
∴
2π
3≤2α+
π
3≤π+
π
3,
-1≤cos(2α+
π
3)≤-
1
2,故当2α+
π
3=π 时,cos(2α+
π
3) 取得最小值为-1,
12+6cos(2α+
π
3) 取得最小值为 12-6=6,
故答案为 6.
当点N与点C重合时,MN与AB垂直,M为AB的中点,OM取得最小值,
此时,θ最小,由cosθ=
MO
AO=
1
2,可得θ=
π
3.
当M与B重合时,此时,MN垂直于AC,θ取得最大值,由于cos(π-θ)=
ON
AO=
1
2,可得θ=
2π
3.
综上可得,θ的取值范围为[
π
3,
2π
3].
(2)由题意可得,AO=
2
3AD=
2
3×
3
2=
3
3;设∠ANO=α,则∠AMO=
2π
3-α.
△ANO中,由余弦定理可得
ON
sin30°=
AO
sinα,解得 ON=
3
6sinα.
同理求得 OM=
3
6Sin(
2π
3−α).
∴
1
|OM|2+
1
|ON|2=
36sin2(
2π
3−α)
3+
36sin2α
3
=12×
1−cos(
4π
3−2α)
2+12×
1−cos2α
2=12-6[cos(
4π
3-2α)+cos2α]
=12+6cos(2α+
π
3).
由(1)可得
π
3≤
5π
6-(
2π
3−α)≤
2π
3,可得
π
3≤2α≤π,
∴
2π
3≤2α+
π
3≤π+
π
3,
-1≤cos(2α+
π
3)≤-
1
2,故当2α+
π
3=π 时,cos(2α+
π
3) 取得最小值为-1,
12+6cos(2α+
π
3) 取得最小值为 12-6=6,
故答案为 6.
已知点M是△ABC的中线AD上的一点,直线BM交边AC于点N,且AB是△NBC的外接圆的切线,设BC/BN=k,试求BM
如图,D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点,AD的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F,且BC=1 &n
D为等腰三角形ABC的直角边BC上的一点,AD的垂直平分线EF分别交AC,AD,AB于F,O,E,BC=2
已知AD为三角形ABC的一条中线,点E在边AC上,且满足向量AE=1/4向量AC,AD和BE交于点O,若以向量AB和BC
已知△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且AD/BD=AE/CE=n,CD交BE于O,连AO并延长交BC于F,当n
以三角形ABC的BC边为直径的圆O交AB于G,AD切圆O于D,在AB上取AE=AD,作EF垂直AB且与AC延长线交于点F
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线,AB的垂直平分线EF交AD于点O,∠B的平分线BI交AD于点I.探
如图,AD是△ABC的边BC上的中线,过D点的直线EF交边AC于点E,交AC的平行线BF于点F,DG⊥EF交AB于点G,
点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上的一点,AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F,且BC=2
点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F,且BC=2.
点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC,AD,AB,于E,O,F且BC=2
点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC.AD.AB于E.O.F,且BC=2