单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 00:25:52
单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点.
(1)求证:直线AC与平面D1EF平行;
(2)求二面角D-EF-D1的正弦值;
(3)求直线AC与平面D1EF的距离.
(1)求证:直线AC与平面D1EF平行;
(2)求二面角D-EF-D1的正弦值;
(3)求直线AC与平面D1EF的距离.
(Ⅰ)证明:在正方形ADD1A1中,因为CD=AD-AB-BC=5,
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5.
因为AB=3,BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC.(2分)
因为四边形ADD1A1为正方形,AA1∥BB1,
所以AB⊥BB1,而BC∩BB1=B,
所以AB⊥平面BCC1B1.(5分)
(Ⅱ)因为AB⊥平面BCC1B1,
所以AB为四棱锥A-BCQP的高.
因为四边形BCQP为直角梯形,且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,
所以梯形BCQP的面积为SBCQP=
1
2(BP+CQ)×BC=20.
所以四棱锥A-BCQP的体积VA−BCQP=
1
3SBCQP×AB=20.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,AB,BC,BB1两两互相垂直.
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,
则A(0,0,3),B(0,0,0),C(4,0,0),P(0,3,0),Q(4,7,0),
所以
AP=(0,3,−3),
AQ=(4,7,−3),
设平面PQA的一个法向量为
n1=(x,y,z).
则
n1•
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5.
因为AB=3,BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC.(2分)
因为四边形ADD1A1为正方形,AA1∥BB1,
所以AB⊥BB1,而BC∩BB1=B,
所以AB⊥平面BCC1B1.(5分)
(Ⅱ)因为AB⊥平面BCC1B1,
所以AB为四棱锥A-BCQP的高.
因为四边形BCQP为直角梯形,且BP=AB=3,CQ=AB+BC=7,
所以梯形BCQP的面积为SBCQP=
1
2(BP+CQ)×BC=20.
所以四棱锥A-BCQP的体积VA−BCQP=
1
3SBCQP×AB=20.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,AB,BC,BB1两两互相垂直.
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,
则A(0,0,3),B(0,0,0),C(4,0,0),P(0,3,0),Q(4,7,0),
所以
AP=(0,3,−3),
AQ=(4,7,−3),
设平面PQA的一个法向量为
n1=(x,y,z).
则
n1•
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BC,AA1的中点.
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点.(1)证明:EF//平面A1B1C1D1;(2)证明:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BC、C1D1的中点.求证:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证:
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,证EF平行平面DA1C1
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB=1,点E、F分别是AB、BC的中点.
正方体ABCD-A1B1C1D1中,O1是面A1B1C1D1的中心,E,F分别是AB和BC中点,求异面直线AO1与EF所
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、C1D1的中点.
在正方体ABCD——A1B1C1D1中,E,F,G,分别是 AB,BC,AA1,中点.求证B1D垂直面EFG.
在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF⊥平面BB1O
在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,求证:EF⊥平面BB1O
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,0是底面ABCD的中心,求证EF垂直平面B1BO