一道微分方程设函数f在[1,+∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 17:38:57
一道微分方程
设函数f在[1,+∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
试求y=f(x)所满足的微分方程,并求微分方程满足条件y(2)=2/9的特解
因为我做出的答案和它的不一样
设函数f在[1,+∞)是连续函数.若由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t>1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
试求y=f(x)所满足的微分方程,并求微分方程满足条件y(2)=2/9的特解
因为我做出的答案和它的不一样
由旋转体的性质,将旋转体x轴平均分割成每段dx .则
每个旋转体可看成小圆柱体,则整个旋转体可看成这些圆柱体的体积和
而圆柱体体积为:
V1=π*[f(x)]^2*dx
所以旋转体的体积为:
V=∫π*[f(x)]^2*dx 其中积分区域为 x=1到x=t
而绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
则∫π*[f(x)]^2*dx=π/3[t^2f(t)-f(1)]
两边对t求导得
π*[f(t)]^2=π/3*2tf(t)+π/3t^2f'(t)
化简得
f'(t)+2/tf(t)-3[f(t)]^2=0
令h=1/f(t)
则可化为:
dh/dt-2h/t+3/t^2=0
为一阶线性非其次方程,使用公式可知:
h=e^∫(2/t)dt(C+∫e^∫(-2/t)*(-3/t^2)dt
h=t^2(C+1/t^3)
所以f(t)=1/[t^2(C+1/t^3)]
因为y(2)=2/9
则2/9=1/[2^2(C+1/2^3)]
则C=1
所以
f(x)=1/[x^2(1+1/x^3)]=x/(x^3+1)
每个旋转体可看成小圆柱体,则整个旋转体可看成这些圆柱体的体积和
而圆柱体体积为:
V1=π*[f(x)]^2*dx
所以旋转体的体积为:
V=∫π*[f(x)]^2*dx 其中积分区域为 x=1到x=t
而绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为
V(t)=π/3[t^2f(t)-f(1)]
则∫π*[f(x)]^2*dx=π/3[t^2f(t)-f(1)]
两边对t求导得
π*[f(t)]^2=π/3*2tf(t)+π/3t^2f'(t)
化简得
f'(t)+2/tf(t)-3[f(t)]^2=0
令h=1/f(t)
则可化为:
dh/dt-2h/t+3/t^2=0
为一阶线性非其次方程,使用公式可知:
h=e^∫(2/t)dt(C+∫e^∫(-2/t)*(-3/t^2)dt
h=t^2(C+1/t^3)
所以f(t)=1/[t^2(C+1/t^3)]
因为y(2)=2/9
则2/9=1/[2^2(C+1/2^3)]
则C=1
所以
f(x)=1/[x^2(1+1/x^3)]=x/(x^3+1)
设直线l:y=t^2-t,t属于(0,1/2).若直线l与f(x)=x^2-x的图像以及y轴所围成封闭图形的面积是S1(
设函数f(x)在[a,b]上连续,则由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0所围平面图形的面积为()
大学数学微积分设函数f(x)满足xf'(x)-3f(x)=-6x^2,且曲线y=f(x)与直线x=1及x轴所围成的平面图
函数f(x)在区间[a,b]上连续,曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=o所围成的平面图形的面积等于∫f(x)dx
设函数y=∫(0,x)(x-t)f(t)dt,f(x)为连续函数,
已知函数y=e^x,求函数的图像在点x=1出的切线l的方程,求由曲线y=f(x),直线l,x轴,y轴所围的封闭图形面积.
求由直线x=0,x=1,y=0及曲线f(x)=1/2x²所围成的图形的面积
求由曲线y=1/x,与直线y=x,x=2所围成平面图形的面积
设函数y=f(x)是定义在【-1,1】上的连续函数,在f(-1)*f(1)
设函数y=f(x)满足微分方程***且其图形在点(0,1)处切线与曲线***在该点的切线重合,求函数f(x)
已知函数f括号x=-x方+2x求曲线y=f(x)与x轴所围城的平面图形的面积S
设由曲线y=1-x^2,y=ax^2(a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于由曲线y=1-x^2和x轴所