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已知圆O:(x2+y2=4)和点M(1,根号2),过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求AC+BD得最大值

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/18 18:06:18
已知圆O:(x2+y2=4)和点M(1,根号2),过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求AC+BD得最大值
已知圆O:(x2+y2=4)和点M(1,根号2),过点M作圆O的两条弦AC,BD互相垂直,求AC+BD得最大值
如图,作OE⊥AC、OF⊥BD,分别连接OB、OM、OC.
则:OE²=OC²-CE²,OF²=ME²=OM²-OE²=OM²-(OC²-CE²)=OM²+CE²-OC²,
BF²=OB²-OF²=OB²-(OM²+CE²-OC²)=OB²+OC²-OM²-CE²=2(OB)²-OM²-CE².
由题意知:OB=2、 OM=√3 ,故:BF=√(5-CE²).
则:AC+BD=2CE+2BF=2(CE+BF)=2[CE+√(5-CE²)]
由不等式x+y≤√[2(x²+y²)]得:CE+√(5-CE²)≤√[2(CE²+5-CE²)=√10.
所以:AC+BD≤2√10,即AC+BD的最大值为2√10.