证明加法的交换律定义自然数的加法a+b如下：a+0=a （若b=0）a+1 = a的后继 （若b=1）a+(n+1) =

证明加法的交换律
定义自然数的加法a+b如下：
a+0=a （若b=0）
a+1 = a的后继 （若b=1）
a+(n+1) = (a+n) + 1 （若b=n+1）
证明如上定义的自然数加法,据有交换率.

1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.其中加法交换律a+b=b+a是一条公理.因此,如果你说的交换律是指康托尔的实数系统的交换律的话,那么它是不证自明的.
但对于更早的其他一些实数系统,加法交换律或许是由其他公理推演的,这要看实数系统的构成,不能一概而论.
再问： 你没看懂的我的问题。 我没说在实数上证。论域是自然数集。
再答： 我对数学不太精通，希望以下文字，对你有帮助。 自然数公理 自然数公理承认后继这个原始概念 m++的意思是m的后继. 参考资料：陶哲轩（Terence Tao）《实分析》（人民邮电出版社） 王昆扬 译 注：未经特殊注明，字母均代表自然数。 公理一：0是自然数. 公理二：自然数的后继仍是自然数. 公理三:0不是任何自然数的后继 公理四：两自然数后继相等，则该两自然数相等.证：假设6=3，则由公理四,5=2,4=1,3=0，则0为2的后继，与公理3矛盾！ 公理五：数学归纳法原理：p(n)是关于自然数n的一个性质。若p(0)成立。且p(n)成立导出p(n++)成立，则对于一切自然数m,p(m)成立。 用数学归纳原理定义自然数的加法.规定0+n=n（奠基）,(m++)+n=(m+n)++（给出递推关系）.则由数学归纳法，已经对每一个n定义了加法运算m+n. 若看不懂，我解释的更加清楚些：（有定义指的是运算结果对应的是自然数）我要证明对于每一个自然数n,m+n都有定义。首先，0+n有定义，定义它为自然数n.假设m+n有定义，。下证（m++）+n也有定义：（m++）+n=(m+n)++，因为m+n是自然数（由假设），由公理二，（m+n）++也是自然数，等价的说法即（m++）+n有定义。由数学归纳法，对于一切自然数n,加法都有定义。 下面证明：加法结果的唯一性 数学归纳法：0+a=a.可见，0+a的结果唯一。设n+a的结果唯一，则（n++）+a=(n+a)++,(n+a)++必唯一。由归纳法，加法结果唯一。 证明：a+b=b+a. 先考虑简单情形： 0+b=b+0.证：归纳法.0+0=0+0，设0+n=n+0.则0+（n++）=n++.(n++)+0=(n+0)++=(0+n)++=n++.由归纳原理，对于一切n有0+n=n+0. 下证：n+（b++）=(n+b)++.证：易证n=0时命题成立.设n+（b++）=(n+b)++，（n++）+(b++)=(n+(b++))++=((n+b)++)++,而((n++)+b)++= ((n+b)++)++，由归纳原理，对于一切自然数n有n+（b++）=(n+b)++. 下面，归纳地证明加法交换律：已证b=0时命题成立.设a+b=b+a，则a+(b++)=(a+b)++,(b++)+a=(b+a)++=(a+b)++.故对于一切自然数b有a+b=b+a.其实这个证明可以用分析法得到。