大一常微分方程问题,求解dy/dx=-y/(a^2-y^2)^0.5;y(0)=a（a已知）

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/20 20:10:29

大一常微分方程问题,求解dy/dx=-y/(a^2-y^2)^0.5;y(0)=a（a已知）
我数学不是很好讲得详细一点,先谢过了!

解微分方程的特dy/dx=-y/√(a²-y²)；y(0)=a
分离变量得(1/y)√(a²-y²)dy=-dx
积分之,得∫[(1/y)√(a²-y²)dy]dy=-∫dx=-x.(1)
∫[(1/y)√(a²-y²)dy]dy=∫{√[1-(y/a)²]/(y/a)}dy
令y/a=sinu,则y=asinu,dy=acosudu,故
∫{√[1-(y/a)²]/(y/a)}dy=a∫[(cos²u/sinu)]du=a∫[(1-sin²u)/sinu]du=a[∫du/sinu-∫sinudu]
=a{ln[tan(u/2)+cosu}=aln[sinu/(1+cosu)]+acosu
=aln{y/[a+√(a²-y²)]}+√(a²-y²)+C
代入(1)式得aln{y/[a+√(a²-y²)]}+√(a²-y²)+C=-x
代入初始条件：x=0时y=a,得C=0,
故得特解为aln{y/[a+√(a²-y²)]}+√(a²-y²)+x=0
再问：那么微分方程的特解可以是一个隐函数？还有，a[∫du/sinu-∫sinudu]=a{ln[tan(u/2)+cosu}，我没有看懂其中∫du/sinu是怎么变化的，谢谢
再答： (1)。微分方程的解可以是隐函数。 (2)。∫du/sinu=ln(cscx-cotx)+C=lntan(u/2)+C是个积分公式，我直接用了它。其中tan(u/2)=sinu/(1+cosu). 因为sinu=y/a，cosu=√(1-y²/a²)=(1/a)√(a²-y²) 故tan(u/2)=(y/a)/[1+(1/a)√(a²-y²)]=y/[a+√(a²-y²)].

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