已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 07:15:00

已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明；
②拓展运用：如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断1/DM+1/DN是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由.

（1）证明：如图1,分别连接OE、0F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ADC．AO=DC=BC,
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°,
又∵E、F分别为DC、CB中点,
∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,
∴0E=OF=OA,
∴点O即为△AEF的外心．
①猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
∴∠PIE=∠PJD=90°,
∵∠ADC=60°,
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
∵点P是等边△AEF的外心,
∴∠EPA=120°,PE=PA,
∴∠IPJ=∠EPA,
∴∠IPE=∠JPA,
∴△PIE≌△PJA,
∴PI=PJ,
∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．
②1/DM+1/DN为定值2．
当AE⊥DC时．△AEF面积最小,
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P,由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G,
设DM=x,DN=y（x≠0．y≠O）,则CN=y-1,
∵BC∥DA,
∴△GBP≌△MDP．
∴BG=DM=x．
∴CG=1-x
∵BC∥DA,
∴△NCG∽△NDM,
∴CN/DN=CG/DM,
∴(y-1)/y=(1-x)/x,
∴x+y=2xy,
∴1/x+1/y=2,
即1/DM+1/DN=2．

已知，等边△AEF的边长于菱形ABCD的边长相等，点E、F分别边BC、CD上，则∠B_____.要过程 23．(10分)如图，菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=60º，等边△AEF的顶点E，F分别在菱形的边DC、CB上．( 已知：如图,在菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,正三角形AEF的边长与菱形的边长相等.试探索∠CEF与∠CF 已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E,F分别在BC,CD上,则∠AFD为? （2012•汕头二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不如图,已知正方形ABCD中,F为DC边上一动点,DC=nDF,AE⊥AF交CB的延长线于E,连接EF 如图,菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF,求证:∠AEF=∠AFE 在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120,△AEF为正方形,点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动,且E,F不与B, 菱形ABCD,∠B=60°,一个60°的角的顶点在C点,并绕点C旋转,旋转时角的两边始终分别与AB、AD交于E、F两点. 一道趣味几何题如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的中点,且BE=DF,∠B=60度,求证△AEF为等边三角形已知E F分别为正方形ABCD边BC CD上的点且△AEF为等边三角形,若正方形的边长为1,求EF的长