如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 06:29:12
如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC.
求证:
(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD.
求证:
(1)CD⊥DF;
(2)BC=2CD.
证明:(1)∵AB=AD,
∴弧AB=弧AD,∠ADB=∠ABD.
∵∠ACB=∠ADB,∠ACD=∠ABD,
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD.
∴∠ADB=(180°-∠BAD)÷2=90°-∠DFC.
∴∠ADB+∠DFC=90°,即∠ACD+∠DFC=90°,
∴CD⊥DF.
(2)过F作FG⊥BC于点G,
∵∠ACB=∠ADB,
又∵∠BFC=∠BAD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB.
∴FB=FC.
∴FG平分BC,G为BC中点,∠GFC=
1
2∠BAD=∠DFC,
∵在△FGC和△DFC中,
∠GFC=∠DFC
FC=FC
∠ACB=∠ACD
∴△FGC≌△DFC(ASA),
∴CD=GC=
1
2BC.
∴BC=2CD.
∴弧AB=弧AD,∠ADB=∠ABD.
∵∠ACB=∠ADB,∠ACD=∠ABD,
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD.
∴∠ADB=(180°-∠BAD)÷2=90°-∠DFC.
∴∠ADB+∠DFC=90°,即∠ACD+∠DFC=90°,
∴CD⊥DF.
(2)过F作FG⊥BC于点G,
∵∠ACB=∠ADB,
又∵∠BFC=∠BAD,
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB.
∴FB=FC.
∴FG平分BC,G为BC中点,∠GFC=
1
2∠BAD=∠DFC,
∵在△FGC和△DFC中,
∠GFC=∠DFC
FC=FC
∠ACB=∠ACD
∴△FGC≌△DFC(ASA),
∴CD=GC=
1
2BC.
∴BC=2CD.
如图,四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC,CD⊥
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