已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 03:27:15
已知a为实数,x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,求b的取值范围.
(Ⅰ)∵函数f(x)=alnx+x2-12x,
∴f′(x)=
a
x+2x-12,
∵x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点,
∴f′(4)=0,得
a
4+8-12=0,得a=16;
(Ⅱ)当a=16时,f(x)=16lnx+x2-12x,f′(x)=
16
x+2x-12=
2(x−2)(x−4)
x,
当f′(x)>0时,可得x>4或者0<x<2;
当f′(x)<0时,可得2<x<4;
∴函数f(x)的单调增区间为:(4,+∞),(0,2);
函数f(x)的单调减区间为:(2,4);
(Ⅲ)直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,f(4)=16ln4-32,f(2)=16ln2-20,
由(Ⅱ)知f(x)在x=2出去极大值,在x=4出取极小值,
画出f(x)的草图:
直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间,
∴f(4)<b<f(2),
即161n4-32<b<16ln2-20,;
∴f′(x)=
a
x+2x-12,
∵x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x的一个极值点,
∴f′(4)=0,得
a
4+8-12=0,得a=16;
(Ⅱ)当a=16时,f(x)=16lnx+x2-12x,f′(x)=
16
x+2x-12=
2(x−2)(x−4)
x,
当f′(x)>0时,可得x>4或者0<x<2;
当f′(x)<0时,可得2<x<4;
∴函数f(x)的单调增区间为:(4,+∞),(0,2);
函数f(x)的单调减区间为:(2,4);
(Ⅲ)直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,f(4)=16ln4-32,f(2)=16ln2-20,
由(Ⅱ)知f(x)在x=2出去极大值,在x=4出取极小值,
画出f(x)的草图:
直线y=b与函数y=f(x)的图象有且仅有3个交点,
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间,
∴f(4)<b<f(2),
即161n4-32<b<16ln2-20,;
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