（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F

（北京模拟）在△ABC中，分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）如图1，连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
（2）如图2，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ的长；
（3）如图3，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．
（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以PA为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．
（1）求证：CD是⊙P的
江苏连云港）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b（b＞0）与⊙O交于A，B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点为点O′．
（1）求证：四边形OAO′B是菱形；
（2）当点O′ 落在⊙O上时，求b的值．

（北京模拟）在△ABC中,分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2,其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）证明：如图一,连接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,证明：△DO1F≌△FO2E；
（2）如图2,过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连接PQ,若∠ACB＝90°,DB＝5,CE＝3,求线段PQ的长；
（3）如图3,过点A作半圆O2的切线,交CE的延长线于点Q,过点Q作直线FA的垂线,交BD的延长线于点P,连接PA．求证：PA是半圆O1的切线．
（1）∵O1,O2,F分别是AB,AC,BC边的中点,
∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1,
∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC,
∴∠BO1F=∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点,
∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,
∠BO1D=90°,∠CO2E=90°,
∴∠BO1D=∠CO2E．
∴∠DO1F=∠FO2E．
∴△DO1F≌△FO2E；
如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE．
∵点E是半圆O2圆弧的中点,
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE=∠EAC=45°,AC=
AE2+CE2
=3
2
,
∵AQ是半圆O2的切线,
∴CA⊥AQ,
∴∠CAQ=90°,
∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°,
∴AQ=AC=AG=3
2
,
同理：∠BAP=90°,AB=AP=5
2
,
∴CG=6
2
,∠GAB=∠QAP,
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG,
∵∠ACB=90°,
∴BC=
AB2-AC2
=4
2
,
∴BG=
GC2+BC2
=2
26
,
∴PQ=2
26
；
（3）如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM．
∵F是BC边的中点,∴S△ABF=S△ACF．
∴BR=CS,
由（2）已证∠CAQ=90°,AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
∴△AMQ≌△CSA,
∴AM=CS,
∴AM=BR,
同（2）可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上,
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8,∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM,
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°,
∴∠5+∠7=90°,
∴∠6+∠8=90°,
∴∠PAB=90°,
∴PA⊥AB,又AB是半圆O1直径,
∴PA是半圆O1的切线．
再问： 继续找