证明当x＞0时,1+x㏑(x+√1+x²)＞√1+x²

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/14 04:47:41

证明：
设f(x)=xln [x+√(1+x^2)]-√(1+x^2) +1
定义域为实数范围R,题目条件为x>0
求导：
f'(x)=ln [x+√(1+x^2) ]+ x*[1+x/√(1+x^2)] / [x+√(1+x^2)] -x/√(1+x^2)
=ln [x+√(1+x^2)] +x / √(1+x^2) -x / √(1+x^2)
=ln [x+√(1+x^2)]
因为：x>0,1+x^2>1
所以：√(1+x^2)>1,x+√(1+x^2)>1
所以：ln [x+√(1+x^2)]>0
所以：f'(x)= ln [x+√(1+x^2)]>0在x>0时恒成立
所以：f(x)是单调递增函数
所以：f(x)>f(0)=0-1+1=0
所以：f(x)=xln [x+√(1+x^2)]-√(1+x^2) +1>0
所以：1+xln [x+√(1+x^2)] > √(1+x^2) ,x>0

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