数学穿根法

数学穿根法

解题思路： “穿根法”，是解高次不等式、或分式不等式中常用的一种方法。所谓“穿根法”，其本质是图像法，——即一个高次多项式函数f(x)的大体图像，根据图像在x轴的上方、下方的分布，直接写出不等式的解集。而在画图像之前，这个“高次多项式函数f(x)”必须是分解因式后完全确定零点（根）的形式，而且画图像时省略y轴，也省略了x轴的箭头及标注（实际上，水平直线代表x轴，曲线代表函数图像）。
解题过程：
“穿根法”，是解高次不等式、或分式不等式中常用的一种方法。 所谓“穿根法”，其本质是图像法，——即一个高次多项式函数f(x)的大体图像，根据图像在x轴的上方、下方的分布，直接写出不等式的解集。而在画图像之前，这个“高次多项式函数f(x)”必须是分解因式后完全确定零点（根）的形式，而且画图像时省略y轴，也省略了x轴的箭头及标注（实际上，水平直线代表x轴，曲线代表函数图像）。 例1：解不等式：x-3 > 0 　　　　 解：不等式x-3>0的解集为 (3, +∞) 【注：本题的图像本应是直线】 例2：解不等式： 　　　　　 解：不等式的解集为 [-1, 2] 【注：本题的图像本应是抛物线】 例3：解不等式： 　　　　 解：不等式的解集为 例4：解不等式： 解：不等式的解集为 【说明】：写解集时，注意每个区间的端点处带不带等号（即：区间是开？还是闭？） 以上是高次整式“无重根”时的情形——遇根直接穿过。若有重根，则“偶次重根穿而不过，奇次重根照常穿过”。 例5：解不等式： 解：不等式的解集为 【为什么“偶次重根穿而不过，奇次重根照常穿过”？，——请想象一下：在“-1”这一个点处连续穿过三次会是什么样子？在5这一个点处连续穿过4次会是什么样子？】 　　　　以上是整式不等式，若是分式不等式，则要先等价转化为整式不等式，然后再用穿根法。分式不等式的解法步骤（见下页）： 移项； 通分； 分解； “商”变“积”（同时因式排序）； 穿根写解集 例6：解不等式 解： ， 移项， 通分， 分解， 商变积 【商>0与 积>0等价】 穿根写解集，解集为 【请理解上述过程中的每个“”所对应的步骤，以后解题时，文字不必写出。】 【注】：分解因式“商变积”后的结果，必须要求x的系数全为“+1”，且根的顺序由小到大，画图时，先在数轴上标注所有的“根”（零点），然后从最右侧上方开始往左按照穿根规则进行画图。 例7：解不等式 【与上题相比，不等号方向变了，并且带“等号” 】 解： ， ， ， ， 【这里有什么变化？】 解集为 【分子、分母对应的根可在上图中的数轴上分别用实点、虚点表示；写解集时，实点处写成闭区间，虚点处写成开区间。】 例8：解x的不等式 【含字母系数a，需分类讨论】 解：， ， ， ， 【 让“”在x轴上游走，自左至右，共分为共7种情况（分别为：与三个点重合，在四个区间内 ）： 当 与某个点重合时，图像在此点与x轴相切（穿而不过） 写解集的时候，要仔细地注意每个分点是“开”还是“闭” ！！！！！】 （1）若 ，则 根序为 –a, -1, 0, 2， 【图，你自己画一下 】 即 时， 解集为 （2）若 ，则 根序为 –1, –1, 0, 2， 【注：–1处穿而不过 】 即 时， 解集为 （3）若 ，则 根序为 ………… （4）………… （5）………… （6）………… （7）………… 【你自己补充完善吧，借以熟悉一下这种解法的思想和过程】 正规解答如下： 解x的不等式 解：， ， ， ， 1）若 ， 即时，解集为 2）若 ， 即时，解集为 3）若 ， 即时，解集为 4）若 ， 即时，解集为 5）若 ， 即时，解集为 6）若 ， 即时，解集为 7）若 ， 即时，解集为 【注】： 分类的标准是与其它几个“根”的大小，但是最后回答解集的时候，分类条件必须是“当…时，解集为……”