是否存在这样的k值,使函数f(x)=k2x4-23
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/19 02:16:17
是否存在这样的k值,使函数f(x)=k2x4-
2 |
3 |
∵f(x)=k2x4-
2
3x3-kx2+2x+
1
2,
∴f′(x)=4k2x3-2x2-2kx+2,
∵函数f(x)=k2x4-
2
3x3-kx2+2x+
1
2在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,
∴当x∈(1,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
由函数f′(x)的连续性可知,f′(2)=0,
∴f′(2)=32k2-4k-6=0,解得k=
1
2或k=-
3
8,
下面对k=
1
2或k=-
3
8分别进行验证:
①若k=
1
2时,f′(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2),
当1<x<2,f′(x)<0,
当x>2,f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增,
∴k=
1
2符合题意;
②若k=-
3
8时,f′(x)=
9
16x3-2x2+
3
4x+2=
9
16(x-
7-
193
9)(x-2)(x-
7+
193
9),
当1<x<2,f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上递增,
∴k=-
3
8不合题意.
综合①②,存在k=
1
2,满足题意.
∴存在k=
1
2,使函数f(x)=k2x4-
2
3x3-kx2+2x+
1
2在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增.
2
3x3-kx2+2x+
1
2,
∴f′(x)=4k2x3-2x2-2kx+2,
∵函数f(x)=k2x4-
2
3x3-kx2+2x+
1
2在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增,
∴当x∈(1,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
由函数f′(x)的连续性可知,f′(2)=0,
∴f′(2)=32k2-4k-6=0,解得k=
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2或k=-
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8,
下面对k=
1
2或k=-
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8分别进行验证:
①若k=
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2时,f′(x)=x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2),
当1<x<2,f′(x)<0,
当x>2,f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增,
∴k=
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2符合题意;
②若k=-
3
8时,f′(x)=
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16x3-2x2+
3
4x+2=
9
16(x-
7-
193
9)(x-2)(x-
7+
193
9),
当1<x<2,f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上递增,
∴k=-
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8不合题意.
综合①②,存在k=
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2,满足题意.
∴存在k=
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2,使函数f(x)=k2x4-
2
3x3-kx2+2x+
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2在(1,2)上递减,在(2,-∞)上递增.
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