两份数学探究性课题 急

两份数学探究性课题 急

对数函数
【知识导航】
1、解与对数函数有关的综合问题时,要注意对其定义域及底数的讨论.
2、比较两个对数的大小,根据是对数的单调性,若不是同底的对数,可过渡为同底对数再作比较.
3、判断复合函数的单调性,依据复合函数单调性的判定方法,遵循减(增)加减(增)为增,减(增)加增(减)为减的原则.
4、注意对数换底公式的运用,先换成以已知对数的底为底的对数,然后是数字的折凑技巧.既要善于“正用”,还要注意它的“逆用”.
5、有些超越方程直接求解的个数有困难,通常可借助于对数函数的图象、性质、数形结合的思想来考虑.
【典型例题】
〔例1〕若函数\1的定义域为R,求实数a的取值范围.
函数\1的定义域为R,
即\1恒成立,
此时不等式左边若不是二次函数,
即a=0时,显然\1不能恒成立.
因此,左边一定是二次函数,
即a＞0且Δ＜0,进而可求得a的取值范围为\1
解得：\1
【思路剖析】解综合问题时,要注意对数函数的定义域及底数的讨论.已知定义域为全体实数,是在\1的情况下恒成立,即该一元二次不等式的解为全体实数,特别注意,a≠0.当a＝0时\1对x来说是有限制范围的,并根据二次函数图象判定条件为：a＞0且Δ＜0.
〔例2〕比较\1两数的大小.
解一：考查对数函数\1,根据对数函数的性质,引入中间量\1.
\1
解二：引入中间量\1（解题过程略,同学们自己练习）.
【思路剖析】(1)是利用对数函数的增减性比较两个数的大小的,对底数与1的大小关系来明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小,要讨论a＞1和0＜a＜1两种情况.对于\1的两个对数的大小比较,可以架起两座桥梁,沟通这二数的大小关系.这两个新数是\1
(2)对于(2)就不能直接利用对数函数的增减性比较大小,这时可在两个数中间插入一个已知数(如1或0等)间接比较上述两个对数的大小.
〔例3〕已知\1是奇函数
（1）求m的值；
（2）根据（1）的结果,判断\1在\1上的单调性,并加以证明；
（1）由\1得
\1对一切实数x都成立
∴\1
检验知\1
（2）设\1,并设任意的\1,则
\1
所以,g(x)在\1上是减函数.
从而a>1时,\1,f(x)在\1上是减函数；0【思路剖析】判断对数函数的单调性,通常是对复合函数的单调性进行判断.判断复合函数的单调性,遵循减(增)加减(增)为增,减(增)加增(减)为减的原则.因此,判断对数函数的单调性,不仅要对真数的增减性进行研究,还要对底数分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
〔例4〕(1)求满足等式lnN·logaN=lna的实数N；(2)已知log1227=a,求log616.
(1)显然lnN≠0,
\1
【思路剖析】对(1)理解lnN的含义是lnN＝logeN,且lnN≠0,注a≠0,\1有意义.（2）注意对数换底公式的运用,先换成以已知对数的底为底的对数,然后是数字的折凑技巧,即12＝3×4,27＝33.
〔例5〕方程log2(x+2)=\1 (a＞0,且a≠1)的实数解有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
令y1=log2(x+2),
y2=\1分别画出两个函数图象,如图,显然y1与y2有一个交点,故选B.
【思路剖析】此方程属于超越方程,没有其直接解法,利用数形结合可从图象上观察到两个图象交点的个数,从而推出这个方程解的个数,关键是较准确作出y1＝log2（x＋2）与y2＝\1的图象.
【巩固练习】
设\1,构造一个定义在实数集上的奇函数\1,使得当\1时,\1,
（1）求函数\1的表达式,并作出\1的草图（2）作出函数\1的草图；
参考答案
（1）x>0时,g(x)=log2x,设x0,g(\1x)=log2(\1x)
又因为g(x)是奇函数,所以\1g(x)=log2(\1x),即有g(x)=\1log2(\1x),所以
\1,其草图如图1