20.已知直线L:y=kx-1,与抛物线C:y*2=-2px(p>0)交于A,B两点,O是坐标原点,向量OA+向
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 02:24:12
20.已知直线L:y=kx-1,与抛物线C:y*2=-2px(p>0)交于A,B两点,O是坐标原点,向量OA+向
20.已知直线L:y=kx-1,与抛物线C:y*2=-2px(p>0)交于A,B两点,O是坐标原点,向量OA+向量OB=(-3/2,-17/4)
(1)求直线L和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
20.已知直线L:y=kx-1,与抛物线C:y*2=-2px(p>0)交于A,B两点,O是坐标原点,向量OA+向量OB=(-3/2,-17/4)
(1)求直线L和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
联立y=kx-1和y²=-2px,得:
k²x²+1-2kx=-2px,即k²x²+2(p-k)x+1=0
判别式△=4(p-k)²-4k²=4p²-8pk>0,即p>2k
由根与系数关系可知:x1+x2=2(k-p)/k²
则y1+y2=(kx1-1)+(kx2-1)=k(x1+x2)-2=2(k-p)/k-2=-2p/k
向量OA+向量OB=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(-3/2,-17/4)
即2(k-p)/k²=-3/2,且-2p/k=-17/4
解得:k=3/2,p=51/16
则直线L方程为:y=1.5x-1;抛物线C方程为:y²=(-51/8)x
设P到直线AB的距离为d
△ABP面积=1/2×AB×d
∵AB为定值,∴当d达到最大值时,面积达到最大值
∵P是从A运动到B,则最大距离的P点满足该点所在直线切线斜率等于直线L斜率
(因为不知道你们学没学过y²=-2px的切线为yy0=-p(x+x0),所以下面我用判别式法来解)
设该切线为y=1.5x+b ,联立抛物线得:
2.25x²+b²+3bx=(-51/8)x,即2.25x²+(3b+51/8)x+b²=0
∵该直线是切线,所以只有一个交点
∴判别式△=9b²+(51/8)²+2*3b*51/8-9b²=0,即b=-17/16
则切线为y=1.5x-17/16
则切点P到直线L的距离=|-17/16-(-1)|/√(1.5²+1)=1/8√13
∵x1+x2=-3/2,x1x2=1/k²=4/9
y1+y2=-17/4,y1y2=√[y1²y2²]=√[4p²x1x2]=2p√[x1x2]=17/4
AB距离=√[(x1-x2)²-(y1-y2)²]=√[(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2]=√221/12
则△ABP面积=1/2×√221/12×1/8√13=√17/192
感觉数字挺别扭,你再算一下吧,方法是对的
联立y=kx-1和y²=-2px,得:
k²x²+1-2kx=-2px,即k²x²+2(p-k)x+1=0
判别式△=4(p-k)²-4k²=4p²-8pk>0,即p>2k
由根与系数关系可知:x1+x2=2(k-p)/k²
则y1+y2=(kx1-1)+(kx2-1)=k(x1+x2)-2=2(k-p)/k-2=-2p/k
向量OA+向量OB=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(-3/2,-17/4)
即2(k-p)/k²=-3/2,且-2p/k=-17/4
解得:k=3/2,p=51/16
则直线L方程为:y=1.5x-1;抛物线C方程为:y²=(-51/8)x
设P到直线AB的距离为d
△ABP面积=1/2×AB×d
∵AB为定值,∴当d达到最大值时,面积达到最大值
∵P是从A运动到B,则最大距离的P点满足该点所在直线切线斜率等于直线L斜率
(因为不知道你们学没学过y²=-2px的切线为yy0=-p(x+x0),所以下面我用判别式法来解)
设该切线为y=1.5x+b ,联立抛物线得:
2.25x²+b²+3bx=(-51/8)x,即2.25x²+(3b+51/8)x+b²=0
∵该直线是切线,所以只有一个交点
∴判别式△=9b²+(51/8)²+2*3b*51/8-9b²=0,即b=-17/16
则切线为y=1.5x-17/16
则切点P到直线L的距离=|-17/16-(-1)|/√(1.5²+1)=1/8√13
∵x1+x2=-3/2,x1x2=1/k²=4/9
y1+y2=-17/4,y1y2=√[y1²y2²]=√[4p²x1x2]=2p√[x1x2]=17/4
AB距离=√[(x1-x2)²-(y1-y2)²]=√[(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2]=√221/12
则△ABP面积=1/2×√221/12×1/8√13=√17/192
感觉数字挺别扭,你再算一下吧,方法是对的
20.已知直线L:y=kx-1,与抛物线C:y*2=-2px(p>0)交于A,B两点,O是坐标原点,向量OA+向
如图,已知直线L:y=kx-2与抛物线C:x^2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA向量+OB向量=(
设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点.
如图,已知直线l:y=kx-2与抛物线C:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA+OB=(−4,−1
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证:
已知抛物线y²=2px,过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,求证:向量OA×向量OB为定值
高中抛物线问题已知抛物线C:y^2=4x,O为原点,直线L:kx-y-1=0与抛物线C交于两点A、B(1)K=2,求向量
已知抛物线C:y^2=4x,直线L:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点(1)当k=1时,且直线L过抛物线C的焦
直线与抛物线y方=2px(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,若OA⊥OB,OD⊥AB,垂足是D(2,-1),求抛物线
已知直线y=kx+2交抛物线x∧2=2y于A,B两点,O为坐标原点,(1)求证OA⊥OB
已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点,以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O.求抛物线
过点(0,-1)的直线l与抛物线y=-x^2交与A,B两点,O是原点,则向量OA*向量OB=