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已知f(x)=2x-12x2,g(x)=logax(a>0且a≠1),h(x)=f(x)-g(x)在定义域上为减函数,且

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/23 23:21:48
已知f(x)=2x-
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已知f(x)=2x-12x2,g(x)=logax(a>0且a≠1),h(x)=f(x)-g(x)在定义域上为减函数,且
(I)f′(x)=2−x,g′(x)=
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xlna
∵h(x)=f(x)-g(x)在定义域上为减函数
∴h′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立即
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lna≥−x2+2x在(0,+∞)上恒成立

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lna≥  ( −x2+2x)maxx∈(0,+∞)
令u(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1

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lna≥1
∵h′(x)存在零点
∴x2−2x+
1
lna=0在(0,+∞)上有根
∴△=4(1−
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lna)≥0

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lna≤1
∴lna=1即a=e
(II)∵g(x)=lnx,p(x)=ex
令F(x)=ex(x−x2)−ex+ex2(x<x2)
F′(x)=ex+exx-x2ex-ex=(x-x2)ex<0
∴F(x)在(-∞,x2)上递减
∴ex1(x1−x2)>ex1−ex2
即ex1<
ex1−ex2
x1−x2
同理
ex1−ex2
x1−x2<ex2
所以有P(x1)<P(x0)<P(x2