神马作文网求下列矩阵的特征值与特征向量
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 20:31:20
求下列矩阵的特征值与特征向量
1 2 4
2 -2 2
4 2 1
1 2 4
2 -2 2
4 2 1
设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
1-λ 2 4
2 -2-λ 2
4 2 1-λ 第1列减去第2列×2
=
-3-λ 2 4
6+2λ -2-λ 2
0 2 1-λ 第2行加上第1行×2
=
-3-λ 2 4
0 2-λ 10
0 2 1-λ
=(-3-λ)(λ^2-3λ-18)=0
解得λ=6,-3,-3
当λ=6时,
A-6E=
-5 2 4
2 -8 2
4 2 -5 第1行加上第3行,第3行减去第2行×2
-1 4 -1
2 -8 2
0 18 -9 第2行加上第1行×2,第3行除以9,交换第2和第3行,第1行×(-1)
1 -4 1
0 2 -1
0 0 0 第1行加上第2行×2
1 0 -1
0 2 -1
0 0 0
得到特征向量为(2,1,2)^T
当λ= -3时,
A+3E=
4 2 4
2 1 2
4 2 4 第1行减去第3行,第3行减去第2行×2,交换第1和第2行
2 1 2
0 0 0
0 0 0
得到特征向量为(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T
所以矩阵的特征值为6,-3,-3
对应的特征向量为(2,1,2)^T,(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T
|A-λE|=
1-λ 2 4
2 -2-λ 2
4 2 1-λ 第1列减去第2列×2
=
-3-λ 2 4
6+2λ -2-λ 2
0 2 1-λ 第2行加上第1行×2
=
-3-λ 2 4
0 2-λ 10
0 2 1-λ
=(-3-λ)(λ^2-3λ-18)=0
解得λ=6,-3,-3
当λ=6时,
A-6E=
-5 2 4
2 -8 2
4 2 -5 第1行加上第3行,第3行减去第2行×2
-1 4 -1
2 -8 2
0 18 -9 第2行加上第1行×2,第3行除以9,交换第2和第3行,第1行×(-1)
1 -4 1
0 2 -1
0 0 0 第1行加上第2行×2
1 0 -1
0 2 -1
0 0 0
得到特征向量为(2,1,2)^T
当λ= -3时,
A+3E=
4 2 4
2 1 2
4 2 4 第1行减去第3行,第3行减去第2行×2,交换第1和第2行
2 1 2
0 0 0
0 0 0
得到特征向量为(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T
所以矩阵的特征值为6,-3,-3
对应的特征向量为(2,1,2)^T,(1,0,-1)^T和(1,-2,0)^T