(1)当点P不在x轴上时,延长F
1M与F
2P的延长线相交于点N,连接OM,
∵∠NPM=∠MPF
1,∠NMP=∠PMF
1∴△PNM≌△PF
1M
∴M是线段NF
1的中点,|PN|=|PF
1||(2分)
∴|OM|=
1
2|F
2N|=
1
2(|F
2P|+|PN|)=
1
2(|F
2P|+|PF
1|)
∵点P在椭圆上
∴|PF
2|+|PF
1|=8∴|OM|=4,(4分)
当点P在x轴上时,M与P重合
∴M点的轨迹T的方程为:x
2+y
2=4
2.(6分)
(2)连接OE,易知轨迹T上有两个点
A(-4,0),B(4,0)满足S
△OEA=S
△OEB=2,
分别过A、B作直线OE的两条平行线l
1、l
2.
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线l
1、l
2上.(7分)
∵kOE=
1
2
∴直线l
1、l
2的方程分别为:y=
1
2(x+4)、y=
1
2(x-4)(8分)
设点Q(x,y)(x,y∈Z)∵Q在轨迹T内,
∴x
2+y
2<16(9分)
分别解
x2+y2<16
y=
1
2(x+4)与
x2+y2<16
y=
1
2(x-4)
得-4<x<2
2
5与-2
2
5<x<4(11分)
∵x,y∈Z
∴x为偶数,在(-4,2
2
5)上x=-2,,0,2对应的y=1,2,3
在(-2
2
5,4)上x=-2,0,2,对应的y=-3,-2,-1(13分)
∴满足条件的点Q存在,共有6个,
它们的坐标分别为:(-2,1),(0,2),(2,3),(-2,-3),(0,-2),(2,-1).(14分)