设A为正定矩阵,证明:对任何正整数m,存在矩阵正定B,使B^m=A
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 23:38:01
设A为正定矩阵,证明:对任何正整数m,存在矩阵正定B,使B^m=A
如题,主要是要证明矩阵B是正定矩阵,怎么证明?
如题,主要是要证明矩阵B是正定矩阵,怎么证明?
证明:A是正定矩阵=>A是是对称矩阵,所以A可对角化,即存在正交矩阵P和对角矩阵C使得A=(P^T)CP,这里P^T表示P的转置.(注意P是正交矩阵,所以P的逆和P的转置相同.)
由于A是正定阵,则对角阵C的主对角元上的元素均为正实数,构造对角阵D,使D的主对角线元素正好是C的主对角元素开m次方.则D^m=C.
令B=(P^T)DP,则B是正定矩阵.(首先B是对称矩阵,其次因为B和D相似,而D的特征值均为正,所以B的特征值也均为正.)
且B^m=((P^T)DP)^m=(P^T)D^mP=(P^T)CP=A.
由于A是正定阵,则对角阵C的主对角元上的元素均为正实数,构造对角阵D,使D的主对角线元素正好是C的主对角元素开m次方.则D^m=C.
令B=(P^T)DP,则B是正定矩阵.(首先B是对称矩阵,其次因为B和D相似,而D的特征值均为正,所以B的特征值也均为正.)
且B^m=((P^T)DP)^m=(P^T)D^mP=(P^T)CP=A.
设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵.
设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R(B)=n,证明B'AB也是正定矩阵
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n
设M为逆,A为正定矩阵,证明M'AM是正定矩阵.
设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明:B^tAB为正定阵的充要条件为R(B)=n
设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵.
设A,B分别是n,m阶实对称矩阵,且B是正定矩阵.证明,存在m*n非零矩阵H,使B-HAH'成为正定矩阵.
证明若A是n阶正定矩阵,则存在n阶正定矩阵B,使A=B^2
设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵.
设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.
A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵
设m×n实矩阵A的秩为n,证明:矩阵AtA为正定矩阵.