神马作文网数列立方和的公式的证明
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 07:13:10
数列立方和的公式的证明
很详细的证明过程
很详细的证明过程
1、猜想,然后数学归纳法证明,这最简单了
2、可以转化为平方和来处理：
证明如下(n+1)^4-n^4==4n^3+6n^2+4n+1 ∴n^3==(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边==∑i^3==(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2==(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)==(1/4)(n^4+2n^3+n^2)==[(1/2)n(n+1)]^2==(1+2+3+…+n)^2
附注:这里用了另一个公式∑i^2==(1/6)n(n+1)(2n+1)
证明如下:(n+1)^3-n^3==3n^2+3n+1 ∴n^2==(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3
∴∑i^2==(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3==...==(1/6)n(n+1)(2n+1)
2、可以转化为平方和来处理：
证明如下(n+1)^4-n^4==4n^3+6n^2+4n+1 ∴n^3==(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4
∴左边==∑i^3==(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2==(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)==(1/4)(n^4+2n^3+n^2)==[(1/2)n(n+1)]^2==(1+2+3+…+n)^2
附注:这里用了另一个公式∑i^2==(1/6)n(n+1)(2n+1)
证明如下:(n+1)^3-n^3==3n^2+3n+1 ∴n^2==(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3
∴∑i^2==(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3==...==(1/6)n(n+1)(2n+1)