已知实数x,y,x满足x+y+z=7,x^2+y^2+z^2=17.求xyz最大值

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 16:24:10

本题利用条件极值构造Lagrange函数
目标函数是f(x,y,z)=xyz,约束条件是G(x,y,z)=x+y+z-7,H(x,y,z)=x²+y²+z²-17
所以构造Lagrange函数
L(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)-λG(x,y,z)-μH(x,y,z)=xyz-λ(x+y+z-7)-μ(x²+y²+z²-17)
当∂L/∂x=0、∂L/∂y=0、∂L/∂z=0、G=0、H=0时,所求条件极值存在于此时的解(x0,y0,z0,λ0,μ0)
(1)∂L/∂x=yz-λ-2μx=0
(2)∂L/∂y=zx-λ-2μy=0
(3)∂L/∂z=xy-λ-2μz=0
(4)x+y+z=7
(5)x²+y²+z²=17
由(4)²-(5)可知xy+zy+zx=(7²-17)/2=16,那么(1)+(2)+(3)可得16=3λ+14μ
因为xyz=λx+2μx²=λy+2μy²=λz+2μz²,由λx+2μx²=λy+2μy²得[2μ(x+y)+λ](x-y)=0,同理有[2μ(y+z)+λ](y-z)=0、[2μ(z+x)+λ](z-x)=0
i)若x-y=0,即x=y,约束条件变为2x+z=7,2x²+z²=17,解得x=y=8/3,z=5/3或x=y=2,z=3,此时xyz最大值为2*2*3=12.y=z或者z=x同理可得最大值为12!
ii)若x≠y≠z,则只能2μ(x+y)+λ=0,2μ(y+z)+λ=0,2μ(z+x)+λ=0.相加可得28μ+3λ=0
联立16=3λ+14μ、28μ+3λ=0可得：λ=32/3,μ=-8/7
代回2μ(x+y)+λ=0,2μ(y+z)+λ=0,2μ(z+x)+λ=0中可得：x+y=y+z=z+x=14/3,所以x=y=z=7/3,但这与x²+y²+z²=17矛盾,舍去!
综合上述：当x=y=3,z=2或y=z=3,x=2或z=x=3,y=2时,xyz有最大值12!

已知实数xyz满足x/y+z+y/z+x+z/x+y=1求x^2/y+z+y^2/z+x+z^2/x+y的值已知实数xyz满足x^2+4y^2+9z^2=a(a>0),且x+y+z的最大值是1,求a的值已知实数xyz满足|x-2y|+2√(2y+z)+z-2z+1=0,求x+y+z的值已知 x,y,z都是正实数,且 x+y+z=xyz 证明 (y+x)/z+(y+z)/x+(z+x)/y≥2(1/x+1 已知有实数x,y,z满足x^2+4y^2+z^2-2x-12y+4z+14=0,求xyz的值. 已知XYZ满足方程组 X+Y-Z=6 Y+Z-X=2 Z+X-y=0 求X Y Z的值已知xyz都是非负实数,且满足x+y-z=1,x+2y+3z=4,记w=3x+2y+z,求w的最大值与最小值有实数x,y,z；已知x+y+z=2,xyz=4；求Z的取值区间已知x、y、z、是正实数,且x+y+z=xyz,求1/(x+y)+1/(y+z)+1/(x+z)的最大值. 已知实数x,y,z,满足那么x+y=6,z^2=xy-9,求(x+y)^z 已知xyz满足|3x-2y+z|+|2x+y+2z|=0（xyz不等于o）求x+y除以z 已知有理数x.y.z满足（x-z-2)^2+(3x-6y-7)^2=/3y+3z-4/=0求xyz=多少