已知函数f（x）=根号（px+p）-Inx（p＞0）是增函数.（1）求实数p的取值范围.（2）设数列{an}=根号（2n

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 00:11:51

已知函数f（x）=根号（px+p）-Inx（p＞0）是增函数.（1）求实数p的取值范围.（2）设数列{an}=根号（2n+1
主要是第2问
上面的根号（px+p）应该成根号（px-p）（2）设数列{an}=根号（2n+1）除以n，其前n项和为Sn，求证Sn≥2In（n+1).

第一问,即导函数在一到正无穷非负.整理得到px∧2-4x+4>0.讨论这个二次三项式的最值（按照对称轴）,可以得到p>=1
第二问,令x=1+1/n平方+2/n,p=1.代入f(x)得到根号（1/n平方+2/n）-ln 1/n平方+2/n+1=根号（1/n平方+2/n）-ln (1/n+1)∧2=根号（1/n平方+2/n）-2ln (1/n+1) 是增函数.
而又有f(1)=根号3-ln4>0,那么f(x)>0,根号（1/n平方+2/n）-2ln (1/n+1) >0.变形,得到根号（2n+1）/2n〉ln(n+1)/n
对上式从一到n求和,∑根号（2n+1）/2n〉ln(n+1)-lnn+lnn-.=ln (n+1)-ln1=ln(n+1)
也即是Sn〉2ln(n+1)
证毕.
再问：为什么没有包括等号呢？上面的f（1）好像等于0 当n取什么时有等号？
再答： f(1)确实等于0，是我没有解释清楚，我这里说的f(1)实际上是想表达n=1的f(x)值，而这时x=3，是f(3)>0,；确实是需要修正一下，正如你所说的，这里f(1)=0,而这个函数是增函数，所以x>1时f(x)>0,而这个条件，因为x=1+1/n平方+2/n，x>1,所以对一切正整数n都是满足的，也就是对一切正整数n，我所得出的不等式都是成立的。而事实上，大于等于并不一定要求等号一定要取到；有可能你采用的方法更粗略，而得出的结果带有等号；但是严格大于也属于大于等于的一种啊。以我的经验来看，我经常做到这种题目，它证明的要求也是大于等于，或者一个比较松弛的结果；而时常可以得出比要求更强的结果，所以这并不奇怪。如果不懂，欢迎讨论。

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