为什么求二阶齐次线性递推方程时,(1)若特征方程有两相异根α,β,则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/20 16:59:57

为什么求二阶齐次线性递推方程时,(1)若特征方程有两相异根α,β,则a[n]=c1·α^n+c2·β^n；
(2)若特征方程有两等根α=β,则a[n]=(c1+nc2)·α^n,(其中 c1,c2 可由初始条件确定)
(1)、(2)是如何推导的?

设特征方程的两根为α,β ≠ 0 (两根可以相等).
由特征方程的定义和根与系数关系,递推式公式可以表示为a[n+2] = (α+β)·a[n+1]-αβ·a[n].
于是a[n+2]-β·a[n+1] = α·(a[n+1]-β·a[n]),即数列a[n+1]-β·a[n]是公比为α的等比数列.
可设a[n+1]-β·a[n] = d1·α^n,同理可设a[n+1]-α·a[n] = d2·β^n.
(1) α ≠ β时两个式子是独立的,相减即得a[n] = (d1·α^n-d2·β^n)/(α-β).
取c1 = d1/(α-β),c2 = -d2/(α-β)即可.
(2) α = β时只是一个等式a[n+1]-α·a[n] = d1·α^n,两边除以α^(n+1).
得a[n+1]/α^(n+1)-a[n]/α^n = d1/α,即数列a[n]/α^n是公差为d1/α的等差数列.
设a[n]/α^n = n·d1/α+c1,取c2 = d1/α即得a[n] = (c1+c2·n)·α^n.

数列特征方程次数比如对于x^2=px+q 当△＞0时,有an=c1(x1)^n-1 +c2(x2)n-1可是在不同参已知数列{an}的相邻两项an,an+1是方程x^2+3nx+Cn=0的两根,n属于N*,当a1=1时,求C1+C2+C 大学微分中值定理题目证明:设f(x)为n阶可导函数,若方程f(x)=0有n+1个相异实根,则方程[f(x)]^n至少有一线性递推数列的特征方程为:X^2=X+1//为什么是这样! char c1='b',c2='e';printf("%d,%c\n",c1-c2,c2-'a'+'A');则输出结果是若n阶矩阵A=[α1,α2,...,αn]的前n-1个列向量线性相关,后n-1个线性无关,β=α1+α2+.+αn,证明线性递推数列的特征方程一阶线性递推数列问题a(n+1)=a(n)+5n a1=1求通向公式和前n项和公式二阶线性递推数列的特征方程解如果是两共轭虚数根特征方程法求通项a1=1,a(n-1)-an=n,求an 求matlab高手,线性时不变系统,差分方程如下y(n)-0.5y(n-1)+0.25y(n-2)=x(n)+2x(n- char c1,c2; c1=197; c2=198; printf("c1=%c,c2=%c\n",c1,c2); p